《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题08 平面解析几何（解答题）（教师版）

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专题 08 平面解析几何（解答题）
1．【2022 年全国甲卷】设抛物线
C:y2=2px (p>0)
的焦点为 F，点
D
(
p ,0
)
，过 F的直线
交C于M，N两点．当直线 MD 垂直于 x轴时，
|
MF
|
=3
．
(1)求C的方程；
(2)设直线
MD , ND
与C的另一个交点分别为 A，B，记直线
MN , AB
的倾斜角分别为
α , β
．
当
α−β
取得最大值时，求直线 AB 的方程．
【答案】(1)
；
(2)
AB:x=❑
√
2y+4
.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义可得
¿MF∨=p+p
2
，即可得解；
（2）设点的坐标及直线
MN :x=my +1
，由韦达定理及斜率公式可得
kMN =2kAB
，再由差
角的正切公式及基本不等式可得
kAB =❑
√
2
2
，设直线
AB:x=❑
√
2y+n
，结合韦达定理可解.
(1)
抛物线的准线为
x=−p
2
，当
MD
与x轴垂直时，点 M的横坐标为 p，
此时
¿MF∨=p+p
2=3
，所以
p=2
，
所以抛物线 C的方程为
y2=4x
；
(2)
设
M(y1
2
4, y1), N (y2
2
4, y2), A(y3
2
4, y3), B(y4
2
4, y4)
，直线
MN :x=my +1
，
由
{x=my+1
y2=4x
可得
y2−4my−4=0
，
Δ>0, y1y2=−4
，
由斜率公式可得
kMN =y1−y2
y1
2
4−y2
2
4
=4
y1+y2
，
kAB =y3−y4
y3
2
4−y4
2
4
=4
y3+y4
，
直线
MD :x=x1−2
y1
⋅y+2
，代入抛物线方程可得
y2−4(x1−2)
y1
⋅y−8=0
，
Δ>0, y1y3=−8
，所以
y3=2y2
，同理可得
y4=2y1
，
所以
kAB =4
y3+y4
=4
2(y1+y2)=kMN
2
又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为
α , β
，
所以
kAB =tan β=kMN
2=tan α
2
，
若要使
α−β
最大，则
β∈(0,π
2)
，
设
kMN =2kAB=2k>0
，则
tan (α−β)= tan α−tan β
1+tan αtan β=k
1+2k2=1
1
k+2k
≤1
2❑
√
1
k⋅2k
=
❑
√
2
4
，
当且仅当
1
k=2k
即
k=❑
√
2
2
时，等号成立，
所以当
α−β
最大时，
kAB =❑
√
2
2
，设直线
AB:x=❑
√
2y+n
，
代入抛物线方程可得
y2−4❑
√
2y−4n=0
，
Δ>0, y3y4=−4n=4y1y2=−16
，所以
n=4
，
所以直线
AB:x=❑
√
2y+4
.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标
间的关系.
2．【2022 年全国乙卷】已知椭圆 E的中心为坐标原点，对称轴为 x轴、y轴，且过
A
(
0,−2
)
, B
(
3
2,−1
)
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点
P
(
1,−2
)
的直线交 E于M，N两点，过 M且平行于 x轴的直线与线段 AB 交于点
T，点 H满足
⃑
MT =
⃑
TH
．证明：直线 HN 过定点．
【答案】(1)
y2
4+x2
3=1
(2)
(0,−2)
【解析】
【分析】
（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆 C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
(1)
解：设椭圆 E的方程为
m x2+n y2=1
，过
A
(
0,−2
)
, B
(
3
2,−1
)
，
则
¿
，解得
m=1
3
，
n=1
4
，
所以椭圆 E的方程为：
y2
4+x2
3=1
.
(2)
A(0,−2), B(3
2,−1)
，所以
AB:y+2=2
3x
，
① 若过点
P(1,−2)
的直线斜率不存在，直线
x=1
.代入
x2
3+y2
4=1
，
可得
M(1,2❑
√
6
3)
，
N(1,−2❑
√
6
3)
，代入 AB 方程
y=2
3x−2
，可得
T(❑
√
6+3,2❑
√
6
3)
，由
⃑
MT =
⃑
TH
得到
H(2❑
√
6+5,2❑
√
6
3)
.求得 HN 方程：
y=(2−2❑
√
6
3)x−2
，过点
(0,−2)
.
② 若过点
P(1,−2)
的直线斜率存在，设
kx −y−(k+2)=0, M (x1, y1), N (x2, y2)
.
联立
¿
得
(3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0
，
可得
¿
，
¿
，
且
x1y2+x2y1=−24 k
3k2+4(¿)
联立
¿
可得
T(3y1
2+3, y1), H (3y1+6−x1, y1).
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