《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题06 立体几何（解答题）（文科专用）（教师版）

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专题 06 立体几何（解答题）（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒
如图所示：底面
ABCD
是边长为 8（单位：
cm
）的正方形，
△EAB , △FBC , △GCD , △HDA
均为正三角形，且它们所在的平面都与平面
ABCD
垂直．
(1)证明：
EF /¿
平面
ABCD
；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
640
3
❑
√
3
．
【解析】
【分析】
（1）分别取
AB , BC
的中点
，连接
MN
，由平面知识可知
EM ⊥AB , FN ⊥BC
，
EM =FN
，依题从而可证
EM ⊥
平面
ABCD
，
FN ⊥
平面
ABCD
，根据线面垂直的性质
定理可知
EM /¿FN
，即可知四边形
EMNF
为平行四边形，于是
EF /¿MN
，最后根据线面
平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取
AD , DC
中点
K , L
，由（1）知，该几何体的体积等于长方体
KMNL−EFGH
的体积加上四棱锥
B−MNFE
体积的
4
倍，即可解出．
(1)
如图所示： ，
分别取
AB , BC
的中点
M , N
，连接
MN
，因为
△EAB , △FBC
为全等的正三角形，所以
EM ⊥AB , FN ⊥BC
，
EM =FN
，又平面
EAB ⊥
平面
ABCD
，平面
EAB ∩
平面
ABCD=AB
，
EM ⊂
平面
EAB
，所以
EM ⊥
平面
ABCD
，同理可得
FN ⊥
平面
ABCD
，
根据线面垂直的性质定理可知
EM /¿FN
，而
EM =FN
，所以四边形
EMNF
为平行四边形，
所以
EF /¿MN
，又
EF ⊄
平面
ABCD
，
MN ⊂
平面
ABCD
，所以
EF /¿
平面
ABCD
．
(2)
如图所示： ，
分别取
AD , DC
中点
K , L
，由（1）知，
EF /¿MN
且
EF=MN
，同理有，
HE /¿KM , HE=KM
，
HG /¿KL , HG=KL
，
GF /¿ln , GF =ln
，由平面知识可知，
BD ⊥MN
，
MN ⊥MK
，
KM =MN =NL=LK
，所以该几何体的体积等于长方体
KMNL−EFGH
的体积加上四棱锥
B−MNFE
体积的
4
倍．
因为
MN =NL=LK=KM =4❑
√
2
，
EM =8 sin 60∘=4❑
√
3
，点
B
到平面
MNFE
的距离即为
点
B
到直线
MN
的距离
d
，
d=2❑
√
2
，所以该几何体的体积
V=
(
4❑
√
2
)
2×4❑
√
3+4×1
3×4❑
√
2×4❑
√
3×2❑
√
2=128❑
√
3+256
3
❑
√
3=640
3
❑
√
3
．
2．【2022 年全国乙卷】如图，四面体
ABCD
中，
AD ⊥CD , AD =CD , ∠ADB=∠BDC
，E为AC 的中点．
(1)证明：平面
BED ⊥
平面 ACD；
(2)设
AB=BD=2,∠ACB=60°
，点 F在BD 上，当
△AFC
的面积最小时，求三棱锥
F−ABC
的体积．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
❑
√
3
4
【解析】
【分析】
（1）通过证明
AC ⊥
平面
BED
来证得平面
BED ⊥
平面
ACD
.
（2）首先判断出三角形
AFC
的面积最小时
F
点的位置，然后求得
F
到平面
ABC
的距离，
从而求得三棱锥
F−ABC
的体积.
(1)
由于
AD=CD
，
E
是
AC
的中点，所以
AC ⊥DE
.
由于
¿
，所以
△ADB ≅△CDB
，
所以
AB=CB
，故
AC ⊥BD
，
由于
DE ∩ BD=D
，
DE , BD ⊂
平面
BED
，
所以
AC ⊥
平面
BED
，
由于
AC ⊂
平面
ACD
，所以平面
BED ⊥
平面
ACD
.
(2)
依题意
AB=BD=BC=2
，
∠ACB=60 °
，三角形
ABC
是等边三角形，
所以
AC=2, AE=CE=1, BE=❑
√
3
，
由于
AD=CD , AD ⊥CD
，所以三角形
ACD
是等腰直角三角形，所以
DE=1
.
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