《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题06 立体几何（解答题）（理科专用）（学生版）

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专题 06 立体几何（解答题）（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】在四棱锥
P−ABCD
中，
PD ⊥
底面
ABCD ,CD ∥AB , AD =DC=CB=1, AB=2, DP=❑
√
3
．
(1)证明：
BD ⊥PA
；
(2)求PD 与平面
PAB
所成的角的正弦值．
2．【2022 年全国乙卷】如图，四面体
ABCD
中，
AD ⊥CD , AD =CD , ∠ADB=∠BDC
，E为
AC
的中点．
(1)证明：平面
平面
ACD
；
(2)设
AB=BD=2,∠ACB=60°
，点 F在
BD
上，当
△AFC
的面积最小时，求
CF
与平面
ABD
所成的角的正弦值．
3．【2022 年新高考 1卷】如图，直三棱柱
ABC−A1B1C1
的体积为 4，
△A1BC
的面积为
2❑
√
2
．
(1)求A到平面
A1BC
的距离；
(2)设D为
A1C
的中点，
A A1=AB
，平面
A1BC ⊥
平面
AB B1A1
，求二面角
A−BD−C
的正弦值．
4．【2022 年新高考 2卷】如图，
PO
是三棱锥
P−ABC
的高，
PA =PB
，
AB ⊥AC
，E是
PB
的中点．
(1)证明：
OE /¿
平面
PAC
；
(2)若
∠ABO=∠CBO=30 °
，
PO=3
，
PA =5
，求二面角
C−AE−B
的正弦值．
5．【2021 年甲卷理科】已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
6．【2021 年乙卷理科】如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
7．【2021 年新高考 1卷】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.
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