《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题06 立体几何（解答题）（理科专用）（教师版）

3.0 envi 2025-03-07 5 4 4.07MB 66 页 3知币
侵权投诉
专题 06 立体几何（解答题）（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】在四棱锥
P−ABCD
中，
PD ⊥
底面
ABCD ,CD ∥AB , AD=DC=CB=1, AB=2, DP=❑
√
3
．
(1)证明：
BD ⊥PA
；
(2)求PD 与平面
PAB
所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
❑
√
5
5
.
【解析】
【分析】
（1）作
DE ⊥AB
于
E
，
于
F
，利用勾股定理证明
AD⊥BD
，根据线面垂直的
性质可得
PD⊥BD
，从而可得
BD ⊥
平面
PAD
，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点
D
为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
(1)
证明：在四边形
ABCD
中，作
DE ⊥AB
于
E
，
CF ⊥AB
于
F
，
因为
CD /¿AB , AD =CD=CB=1, AB=2
，
所以四边形
ABCD
为等腰梯形，
所以
AE=BF=1
2
，
故
DE=❑
√
3
2
，
BD=❑
√
D E2+B E2=❑
√
3
，
所以
A D2+B D2=A B2
，
所以
AD⊥BD
，
因为
PD ⊥
平面
ABCD
，
BD ⊂
平面
ABCD
，
所以
PD⊥BD
，
又
PD∩ AD=D
，
所以
BD ⊥
平面
PAD
，
又因
PA ⊂
平面
PAD
，
所以
BD ⊥PA
；
(2)
解：如图，以点
D
为原点建立空间直角坐标系，
BD=❑
√
3
，
则
A(1,0,0), B (0,❑
√
3,0), P(0,0 ,❑
√
3)
，
则
⃗
AP=(−1,0 ,❑
√
3),
⃗
BP=(0,−❑
√
3,❑
√
3),
⃗
DP=(0,0 ,❑
√
3)
，
设平面
PAB
的法向量
⃗
n=(x , y , z)
，
则有
{n
→
⋅AP
→
=−x+❑
√
3z=0
n
→
⋅BP
→
=−❑
√
3y+❑
√
3z=0
，可取
⃗
n=(❑
√
3,1,1)
，
则
cos 〈
⃗
n ,
⃗
DP〉=
⃗
n⋅
⃗
DP
¿
⃗
n∨¿
⃗
DP∨¿=
❑
√
5
5¿
，
所以
PD
与平面
PAB
所成角的正弦值为
❑
√
5
5
.
2．【2022 年全国乙卷】如图，四面体
ABCD
中，
AD ⊥CD , AD=CD , ∠ADB=∠BDC
，E为
AC
的中点．
(1)证明：平面
BED ⊥
平面
ACD
；
(2)设
AB=BD=2,∠ACB=60°
，点 F在
BD
上，当
△AFC
的面积最小时，求
CF
与平面
ABD
所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
CF
与平面
ABD
所成的角的正弦值为
4❑
√
3
7
【解析】
【分析】
（1）根据已知关系证明
△ABD ≌△CBD
，得到
AB=CB
，结合等腰三角形三线合一得
到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到
BE⊥DE
，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法
则进行计算即可.
(1)
因为
AD=CD
，E为
AC
的中点，所以
AC ⊥DE
；
在
△ABD
和
△CBD
中，因为
AD=CD , ∠ADB=∠CDB , DB=DB
，
所以
△ABD ≌△CBD
，所以
AB=CB
，又因为 E为
AC
的中点，所以
AC ⊥BE
；
又因为
DE , BE ⊂
平面
BED
，
DE∩ BE=E
，所以
AC ⊥
平面
BED
，
因为
AC ⊂
平面
ACD
，所以平面
BED ⊥
平面
ACD
.
(2)
连接
EF
，由（1）知，
AC ⊥
平面
BED
，因为
EF ⊂
平面
BED
，
所以
AC ⊥EF
，所以
S△AFC =1
2AC ⋅EF
，
当
EF ⊥BD
时，
EF
最小，即
△AFC
的面积最小.
因为
△ABD ≌△CBD
，所以
CB=AB=2
，
《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题06 立体几何（解答题）（理科专用）（教师版）.docx

共66页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：66 页 大小：4.07MB 格式：DOCX 时间：2025-03-07

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 66
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注