《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题05 立体几何（选填题）（文科专用）（教师版）

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专题 05 立体几何（选填题）（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的
边长为 1，则该多面体的体积为（1111111）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
【详解】
由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积
V=2+4
2×2×2=12
.
故选：B.
2．【2022 年全国甲卷】在长方体
ABCD−A1B1C1D1
中，已知
B1D
与平面
ABCD
和平面
A A1B1B
所成的角均为
30 °
，则（1111111）
A．
AB=2AD
B．AB 与平面
所成的角为
30 °
C．
AC=C B1
D．
B1D
与平面
B B1C1C
所成的角为
45 °
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】
如图所示：
不妨设
AB=a , AD=b , A A1=c
，依题以及长方体的结构特征可知，
B1D
与平面
ABCD
所
成角为
∠B1DB
，
B1D
与平面
A A1B1B
所成角为
∠D B1A
，所以
sin 30∘=c
B1D=b
B1D
，
即
b=c
，
B1D=2c=❑
√
a2+b2+c2
，解得
a=❑
√
2c
．
对于 A，
AB=a
，
AD=b
，
AB=❑
√
2AD
，A错误；
对于 B，过
B
作
BE⊥A B1
于
E
，易知
BE⊥
平面
A B1C1D
，所以
AB
与平面
所
成角为
∠BAE
，因为
tan∠BAE =c
a=❑
√
2
2
，所以
∠BAE ≠30∘
，B错误；
对于 C，
AC=❑
√
a2+b2=❑
√
3c
，
C B1=❑
√
b2+c2=❑
√
2c
，
AC ≠C B1
，C错误；
对于 D，
B1D
与平面
B B1C1C
所成角为
∠D B1C
，
sin ∠D B1C=CD
B1D=a
2c=❑
√
2
2
，而
0<∠D B1C<90∘
，所以
∠D B1C=45∘
．D正确．
故选：D．
3．【2022 年全国甲卷】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
2 π
，
侧面积分别为
S甲
和
S乙
，体积分别为
V甲
和
V乙
．若
S甲
S乙
= 2
，则
V甲
V乙
=
（1111111）
A．
❑
√
5
B．
2❑
√
2
C．
❑
√
10
D．
5❑
√
10
4
【答案】C
【解析】
【分析】
设母线长为
l
，甲圆锥底面半径为
r1
，乙圆锥底面圆半径为
r2
，根据圆锥的侧面积公式可得
r1=2r2
，再结合圆心角之和可将
r1, r2
分别用
l
表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，
再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】
解：设母线长为
l
，甲圆锥底面半径为
r1
，乙圆锥底面圆半径为
r2
，
则
S甲
S乙
=π r 1l
π r 2l=r1
r2
=2
，
所以
r1=2r2
，
又
2π r1
l+2π r2
l=2π
，
则
r1+r2
l=1
，
所以
r1=2
3l , r2=1
3l
，
所以甲圆锥的高
h1=❑
√
l2−4
9l2=
❑
√
5
3l
，
乙圆锥的高
h2=❑
√
l2−1
9l2=2❑
√
2
3l
，
所以
V甲
V乙
=
1
3π r 1❑2h1
1
3π r 2❑2h2
=
4
9l2×
❑
√
5
3l
1
9l2×2❑
√
2
3l
=❑
√
10
.
故选：C.
4．【2022 年全国乙卷】在正方体
ABCD−A1B1C1D1
中，E，F分别为
AB , BC
的中点，
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