《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题05 立体几何（选填题）（理科专用）（教师版）

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专题 05 立体几何（选填题）（理科专用）
1．【2022 年新高考 1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部
分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
148 ．5 m
时，相应水面的面积为
140 ．0 km2
；
水位为海拔
157 ．5 m
时，相应水面的面积为
180 ．0 km2
，将该水库在这两个水位间的形
状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
148 ．5 m
上升到
157 ．5 m
时，增加的水量约为（
❑
√
7≈2.65
）（UUUUUUU）
A．
B．
1.2 ×109m3
C．
1.4 ×109m3
D．
1.6 ×109m3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】
依题意可知棱台的高为
MN =157.5−148.5=9
(m)，所以增加的水量即为棱台的体积
V
．
棱台上底面积
S=140.0 k m2=140 ×106m2
，下底面积
S'=180.0 k m2=180 ×106m2
，
∴
V=1
3h
(
S+S'+❑
√
S S'
)
=1
3×9×
(
140 ×106+180×106+❑
√
140 ×180 ×1012
)
¿3×
(
320+60 ❑
√
7
)
×106≈
(
96+18 ×2.65
)
×107=1.437 ×109≈1.4 ×109(m3)
．
故选：C．
2．【2022 年新高考 1卷】已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的
体积为
36 π
，且
3≤l ≤ 3❑
√
3
，则该正四棱锥体积的取值范围是（UUUUUUU）
A．
[
18 ,81
4
]
B．
[
27
4,81
4
]
C．
[
27
4,64
3
]
D．
[18,27]
【答案】C
【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为
h
，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此
确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为
36 π
，所以球的半径
R=3
,
设正四棱锥的底面边长为
2a
，高为
h
，
则
l2=2a2+h2
，
32=2a2+(3−h)2
,
所以
6h=l2
，
2a2=l2−h2
所以正四棱锥的体积
V=1
3Sh=1
3×4a2×h=2
3×(l2−l4
36 )×l2
6=1
9
(
l4−l6
36
)
，
所以
V'=1
9
(
4l3−l5
6
)
=1
9l3
(
24−l2
6
)
，
当
3≤l ≤ 2❑
√
6
时，
V'>0
，当
2❑
√
6<l ≤ 3❑
√
3
时，
V'<0
，
所以当
l=2❑
√
6
时，正四棱锥的体积
V
取最大值，最大值为
64
3
，
又
l=3
时，
V=27
4
，
l=3❑
√
3
时，
V=81
4
,
所以正四棱锥的体积
V
的最小值为
27
4
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
[
27
4，64
3
]
.
故选：C.
3．【2022 年新高考 2卷】已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为
3❑
√
3
和
4❑
√
3
，
其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（UUUUUUU）
A．
100π
B．
128π
C．
144π
D．
192π
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径
r1, r2
，再根据球心距，圆面半径，以及
球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】
设正三棱台上下底面所在圆面的半径
r1, r2
，所以
2r1=3❑
√
3
sin 60∘,2r2=4❑
√
3
sin 60∘
，即
r1=3,r2=4
，设球心到上下底面的距离分别为
d1, d2
，球的半径为
R
，所以
d1=❑
√
R2−9
，
d2=❑
√
R2−16
，故
|
d1−d2
|
=1
或
d1+d2=1
，即
|
❑
√
R2−9−❑
√
R2−16
|
=1
或
❑
√
R2−9+❑
√
R2−16=1
，解得
R2=25
符合题意，所以球的表面积为
S=4 π R2=100 π
．
故选：A．
4．【2021 年甲卷理科】2020 年12 月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法
的一个示意图，现有 A，B，C三点，且 A，B，C在同一水平面上的投影 满足
， ．由 C点测得 B点的仰角为 ， 与 的差为 100；由
B点测得 A点的仰角为 ，则 A，C两点到水平面 的高度差 约为（
）（UUUUUUU）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】
【分析】
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