《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用）（教师版）

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专题 04 导数及其应用（解答题）（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知函数
f(x)=x3−x , g(x)=x2+a
，曲线
y=f(x)
在点
(
x1, f
(
x1
)
)
处的切线也是曲线
y=g(x)
的切线．
(1)若
x1=−1
，求 a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
[
−1,+∞
)
【解析】
【分析】
（1）先由
f(x)
上的切点求出切线方程，设出
g(x)
上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，
再由函数值求出
即可；
（2）设出
g(x)
上的切点坐标，分别由
f(x)
和
g(x)
及切点表示出切线方程，由切线重合表
示出
a
，构造函数，求导求出函数值域，即可求得
a
的取值范围.
(1)
由题意知，
f(−1)=−1−(−1)=0
，
f'(x)=3x2−1
，
f'(−1)=3−1=2
，则
y=f(x)
在点
(
−1,0
)
处的切线方程为
y=2(x+1)
，
即
y=2x+2
，设该切线与
g(x)
切于点
(
x2, g(x2)
)
，
g'(x)=2x
，则
g'(x2)=2x2=2
，解得
x2=1
，则
g(1)=1+a=2+2
，解得
a=3
；
(2)
f'(x)=3x2−1
，则
y=f(x)
在点
(
x1, f (x1)
)
处的切线方程为
y−
(
x1
3−x1
)
=
(
3x1
2−1
)
(x−x1)
，
整理得
y=
(
3x1
2−1
)
x−2x1
3
，
设该切线与
g(x)
切于点
(
x2, g(x2)
)
，
g'(x)=2x
，则
g'(x2)=2x2
，则切线方程为
y−
(
x2
2+a
)
=2x2(x−x2)
，整理得
y=2x2x−x2
2+a
，
则
¿
，整理得
a=x2
2−2x1
3=
(
3x1
2
2−1
2
)
2
−2x1
3=9
4x1
4−2x1
3−3
2x1
2+1
4
，
令
h(x)= 9
4x4−2x3−3
2x2+1
4
，则
h'(x)=9x3−6x2−3x=3x(3x+1)(x−1)
，令
h'(x)>0
，解得
−1
3<x<0
或
x>1
，
令
h'(x)<0
，解得
x←1
3
或
0<x<1
，则
x
变化时，
h'(x), h(x)
的变化情况如下表：
x
(
−∞,−1
3
)
−1
3
(
−1
3,0
)
0
(
0,1
)
1
(
1,+∞
)
h'(x)
−¿
0
+¿
0
−¿
0
+¿
h(x)
↘
5
27
↗
1
4
↘
−1
↗
则
h(x)
的值域为
[
−1,+∞
)
，故
a
的取值范围为
[
−1,+∞
)
.
2．【2022 年全国乙卷】已知函数
f(x)=ax−1
x−(a+1)ln x
．
(1)当
a=0
时，求
f(x)
的最大值；
(2)若
f(x)
恰有一个零点，求 a的取值范围．
【答案】(1)
−1
(2)
(0,+∞)
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得
f'(x)=(ax−1)( x−1)
x2
，按照
a ≤ 0
、
0<a<1
及
a>1
结合导数讨论函数的单调
性，求得函数的极值，即可得解.
(1)
当
a=0
时，
f(x)=−1
x−ln x , x >0
，则
f'(x)= 1
x2−1
x=1−x
x2
，
当
x∈(0,1)
时，
f'(x)>0
，
f(x)
单调递增；
当
x∈(1,+∞)
时，
f'(x)<0
，
f(x)
单调递减；
所以
f(x)max =f(1)=−1
；
(2)
f(x)=ax−1
x−(a+1)ln x , x>0
，则
f'(x)=a+1
x2−a+1
x=(ax −1)(x−1)
x2
，
当
a ≤ 0
时，
ax−1≤0
，所以当
x∈(0,1)
时，
f'(x)>0
，
f(x)
单调递增；
当
x∈(1,+∞)
时，
f'(x)<0
，
f(x)
单调递减；
所以
f(x)max =f(1)=a−1<0
，此时函数无零点，不合题意；
当
0<a<1
时，
1
a>1
，在
(0,1),(1
a,+∞)
上，
f'(x)>0
，
f(x)
单调递增；
在
(1,1
a)
上，
f'(x)<0
，
f(x)
单调递减；
又
f(1)=a−1<0
，当 x趋近正无穷大时，
f(x)
趋近于正无穷大，
所以
f(x)
仅在
(1
a,+∞)
有唯一零点，符合题意；
当
a=1
时，
f'(x)=(x−1)2
x2≥0
，所以
f(x)
单调递增，又
f(1)=a−1=0
，
所以
f(x)
有唯一零点，符合题意；
当
a>1
时，
1
a<1
，在
(0,1
a),(1,+∞)
上，
f'(x)>0
，
f(x)
单调递增；
在
(1
a,1)
上，
f'(x)<0
，
f(x)
单调递减；此时
f(1)=a−1>0
，
又
f(1
an)= 1
an−1−an+n(a+1)ln a
，当 n趋近正无穷大时，
f(1
an)
趋近负无穷，
所以
f(x)
在
(0,1
a)
有一个零点，在
(1
a,+∞)
无零点，
所以
f(x)
有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为
(0,+∞)
.
【点睛】
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