《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题04 导数及其应用（解答题）（理科专用）（学生版）

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专题 04 导数及其应用（解答题）（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知函数
f
(
x
)
=ex
x−ln x+x−a
．
(1)若
f
(
x
)
≥0
，求 a的取值范围；
(2)证明：若
f
(
x
)
有两个零点
x1, x2
，则环
x1x2<1
．
2．【2022 年全国乙卷】已知函数
f
(
x
)
=ln
(
1+x
)
+ax e−x
(1)当
a=1
时，求曲线
在点
(
0, f
(
0
)
)
处的切线方程；
(2)若
f
(
x
)
在区间
(
−1,0
)
,
(
0,+∞
)
各恰有一个零点，求 a的取值范围．
3．【2022 年新高考 1卷】已知函数
f(x)=ex−ax
和
g(x)=ax−ln x
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
y=b
，其与两条曲线
y=f(x)
和
y=g(x)
共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
4．【2022 年新高考 2卷】已知函数
f(x)=xeax−ex
．
(1)当
a=1
时，讨论
f(x)
的单调性；
(2)当
x>0
时，
f(x)←1
，求 a的取值范围；
(3)设
n∈N¿
，证明：
1
❑
√
12+1
+1
❑
√
22+2
+⋯+1
❑
√
n2+n>ln(n+1)
．
5．【2021 年甲卷理科】已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 a的取值范围．
6．【2021 年乙卷理科】设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求 a；
（2）设函数 ．证明:．
7．【2021 年新高考 1卷】已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
8．【2021 年新高考 2卷】已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
9．【2020 年新课标 1卷理科】已知函数 .
（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
（2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a的取值范围.
10．【2020 年新课标 2卷理科】已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
11．【2020 年新课标 3卷理科】设函数 ，曲线 在点(，f( ))处的
切线与 y轴垂直．
（1）求 b．
（2）若 有一个绝对值不大于 1的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 1．
12．【2020 年新高考 1卷（山东卷）】已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
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