《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题04 导数及其应用（解答题）（理科专用）（教师版）

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专题 04 导数及其应用（解答题）（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知函数
f
(
x
)
=ex
x−ln x+x−a
．
(1)若
f
(
x
)
≥0
，求 a的取值范围；
(2)证明：若
f
(
x
)
有两个零点
x1, x2
，则环
x1x2<1
．
【答案】(1)
¿
(2)证明见的解析
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为
ex
x−xe
1
x−2[ln x−1
2(x−1
x)]>0
，再利用导数即可
得证.
(1)
的定义域为
(0,+∞)
，
f'(x)=( 1
x−1
x2)ex−1
x+1
¿1
x(1−1
x)ex+(1−1
x)= x−1
x(ex
x+1)
令
f(x)=0
,得
x=1
当
x∈(0,1), f '(x)<0, f (x)
单调递减
当
x∈(1,+∞), f '(x)>0, f (x)
单调递增
f(x)≥ f (1)=e+1−a
，
若
f(x)≥0
,则
e+1−a ≥ 0
,即
a ≤ e+1
所以
a
的取值范围为
¿
(2)
由题知,
f(x)
一个零点小于 1,一个零点大于 1
不妨设
x1<1<x2
要证
x1x2<1
,即证
x1<1
x2
因为
x1,1
x2
∈(0,1)
,即证
f(x1)>f(1
x2
)
因为
f(x1)=f(x2)
,即证
f(x2)>f(1
x2
)
即证
ex
x−ln x+x−xe
1
x−ln x−1
x>0, x ∈(1,+∞)
即证
ex
x−xe
1
x−2[ln x−1
2(x−1
x)]>0
下面证明
x>1
时，
ex
x−xe
1
x>0,ln x−1
2(x−1
x)<0
设
g(x)=ex
x−xe
1
x, x>1
，
则
g'(x)=( 1
x−1
x2)ex−(e
1
x+xe
1
x⋅(−1
x2))= 1
x(1−1
x)ex−e
1
x(1−1
x)
¿(1−1
x)(ex
x−e
1
x)= x−1
x(ex
x−e
1
x)
设
φ(x)=ex
x(x>1), φ'(x)=( 1
x−1
x2)ex=x−1
x2ex>0
所以
φ(x)>φ(1)=e
,而
e
1
x<e
所以
ex
x−e
1
x>0
,所以
g'(x)>0
所以
g(x)
在
(1,+∞)
单调递增
即
g(x)>g(1)=0
,所以
ex
x−xe
1
x>0
令
h(x)=ln x−1
2(x−1
x), x>1
h'(x)= 1
x−1
2(1+1
x2)= 2x−x2−1
2x2=−(x−1)2
2x2<0
所以
h(x)
在
(1,+∞)
单调递减
即
h(x)<h(1)=0
,所以
ln x−1
2(x−1
x)<0
；
综上,
ex
x−xe
1
x−2[ln x−1
2(x−1
x)]>0
,所以
x1x2<1
.
【点睛】
关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
h(x)=ln x−1
2(x−1
x)
这个函数经常出现，需要掌握
2．【2022 年全国乙卷】已知函数
f
(
x
)
=ln
(
1+x
)
+ax e−x
(1)当
a=1
时，求曲线
y=f
(
x
)
在点
(
0, f
(
0
)
)
处的切线方程；
(2)若
f
(
x
)
在区间
(
−1,0
)
,
(
0,+∞
)
各恰有一个零点，求 a的取值范围．
【答案】(1)
y=2x
(2)
(−∞,−1)
【解析】
【分析】
（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对
a
分类讨论,对
x
分
(−1,0),(0,+∞)
两部分研究
(1)
的定义域为
(−1,+∞)
当
a=1
时,
f(x)=ln (1+x)+ x
ex, f (0)=0
,所以切点为
(0,0)
f'(x)= 1
1+x+1−x
ex, f '(0)=2
,
所以切线斜率为 2
所以曲线
y=f(x)
在点
(0, f (0))
处的切线方程为
y=2x
(2)
f(x)=ln(1+x)+ ax
ex
f'(x)= 1
1+x+a(1−x)
ex=ex+a
(
1−x2
)
(1+x)ex
设
g(x)=ex+a
(
1−x2
)
1°
若
a>0
,当
x∈(−1,0), g(x)=ex+a
(
1−x2
)
>0
,即
f'(x)>0
所以
f(x)
在
(−1,0)
上单调递增,
f(x)<f(0)=0
故
在
(−1,0)
上没有零点,不合题意
2°
若
−1⩽a⩽0
,当
x∈(0,+∞)
,则
g'(x)=ex−2ax>0
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