《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题03 导数及其应用（选填题）（文科专用）（教师版）

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专题 03 导数及其应用（选填题）（文科专用）
1．【2022 年全国甲卷】当
x=1
时，函数
f(x)=aln x+b
x
取得最大值
−2
，则
f'(2)=¿
（!!!!!!!）
A．
−1
B．
−1
2
C．
1
2
D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知
，
f'
(
1
)
=0
即可解得
a , b
，再根据
f'
(
x
)
即可解出．
【详解】
因为函数
f
(
x
)
定义域为
(
0,+∞
)
，所以依题可知，
f
(
1
)
=−2
，
f'
(
1
)
=0
，而
f'
(
x
)
=a
x−b
x2
，
所以
b=−2, a−b=0
，即
a=−2, b=−2
，所以
f'
(
x
)
=−2
x+2
x2
，因此函数
f
(
x
)
在
(
0,1
)
上递
增，在
(
1,+∞
)
上递减，
x=1
时取最大值，满足题意，即有
f'
(
2
)
=−1+1
2=−1
2
．
故选：B.
2．【2021 年乙卷文科】设 ，若 为函数 的极大值点，则
（!!!!!!!）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对
进行分类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是
变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近
都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
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