《五年（2018-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》专题03 导数及其应用（选填题）（理科专用）（教师版）

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专题 03 导数及其应用（选填题）（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】已知
a=31
32 , b=cos 1
4, c=4 sin 1
4
，则（）
A．
c>b>a
B．
b>a>c
C．
a>b>c
D．
a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
由
c
b=4 tan 1
4
结合三角函数的性质可得
c>b
；构造函数
f(x)=cos x+1
2x2−1, x∈(0,+∞)
，
利用导数可得
，即可得解.
【详解】
因为
c
b=4 tan 1
4
,因为当
x∈(0,π
2),sin x<x<tan x
所以
tan 1
4>1
4
,即
c
b>1
,所以
c>b
；
设
f(x)=cos x+1
2x2−1, x∈(0,+∞)
，
f'(x)=−sin x+x>0
，所以
f(x)
在
(0,+∞)
单调递增，
则
f
(
1
4
)
>f(0)=0
,所以
cos 1
4−31
32 >0
，
所以
b>a
,所以
c>b>a
，
故选：A
2．【2022 年新高考 1卷】设
a=0.1 e0.1, b=1
9，c=−ln 0.9
，则（）
A．
a<b<c
B．
c<b<a
C．
c<a<b
D．
a<c<b
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数
f(x)=ln(1+x)−x
， 导数判断其单调性，由此确定
a , b , c
的大小.
【详解】
设
f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)
，因为
f'(x)= 1
1+x−1=−x
1+x
，
当
x∈(−1,0)
时，
f'(x)>0
，当
x∈(0,+∞)
时
f'(x)<0
，
所以函数
f(x)=ln(1+x)−x
在
(0,+∞)
单调递减，在
(−1,0)
上单调递增，
所以
f(1
9)<f(0)=0
，所以
ln 10
9−1
9<0
，故
1
9>ln 10
9=−ln 0.9
，即
b>c
，
所以
f(−1
10 )<f(0)=0
，所以
ln 9
10 +1
10 <0
，故
9
10 <e
−1
10
，所以
1
10 e
1
10 <1
9
，
故
a<b
，
设
g(x)=x ex+ln (1−x)(0<x<1)
，则
g'(x)=
(
x+ 1
)
ex+1
x−1=
(
x2−1
)
ex+1
x−1
,
令
h(x)=ex(x2−1)+1
，
h'(x)=ex(x2+2x−1)
，
当
0<x<❑
√
2−1
时，
h'(x)<0
，函数
h(x)=ex(x2−1)+1
单调递减，
当
❑
√
2−1<x<1
时，
h'(x)>0
，函数
h(x)=ex(x2−1)+1
单调递增，
又
h(0)=0
，
所以当
0<x<❑
√
2−1
时，
h(x)<0
，
所以当
0<x<❑
√
2−1
时，
g'(x)>0
，函数
g(x)=x ex+ln (1−x)
单调递增，
所以
g(0.1)>g(0)=0
，即
0.1 e0.1 >−ln 0.9
，所以
a>c
故选：C.
3．【2021 年新高考 1卷】若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图
形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可
以作出两条切线.
【详解】
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
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