《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第25讲 三角形面积问题（解析版）
第25 讲 三角形面积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 19 小题）
1．已知焦点在 轴上的椭圆 上的点到两个焦点的距离和为 10，椭圆 经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的右焦点 作与 轴垂直的直线 ，直线 上存在 、 两点满足 ，求
面积的最小值．
（3）若与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 、 两点，交 轴于定点 ，线段 的垂直平分线交 轴于
点 ，且 为定值，求点 的坐标．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为 ，椭圆 上的点到两个焦点的距离和为 10，所以
， ，
又椭圆 经过点 ，代入椭圆方程，求得 ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）设 ， ， ，
由 ，所以 ，
，故 面积的最小值为 9；
（3）设直线 的方程为： ，则点 ，
联立 ，消去 得 ，
， ，
所以 ，
则 的中点 的坐标为 ，又 ，得 ，
则直线 的方程为： ，
令 ，得 点的坐标为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，比值为定值，此时点 ，为 ，
故 或 ．
2．如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3，点 为
椭圆外一点，不过原点 的直线 与 相交于 ， 两点，且线段 被直线 平分．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 面积最大值时的直线 的方程．
【解答】解：（1）由题意可知： ，
左焦点 到椭圆上点的最远距离为 3，
即使 ，可解得： ， ，
，
所求椭圆 的方程为： ； （4分）
（2）易得直线 的方程： ，
设 ， ， ， ， ，
其中 ，
， 在椭圆上，
，
（6分）
设直线 的方程为 ，
代入椭圆： ，整理得： ，
根据韦达定理可知： ， ， （8分）
，
点 到直线 的距离为： 丨 丨 丨 丨，
， （10 分）
当 时， 取最大值，
此时直线 的方程 ． （12 分）
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