《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第24讲 定值问题（原卷版）

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第24 讲 定值问题
一．解答题（共 19 小题）
1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线 过点 ，且点 在 轴上的射影恰为该双
曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆 的一个焦点 作与 轴不垂直的任意直线 ”交椭圆于 、 两点，线
段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 为定值，且定值是 ”．命题中涉及了这么几个要素：给定
的圆锥曲线 ，过该圆锥曲线焦点 的弦 ， 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点 ， 的
长度与 、 两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线 的类似的正确命题，并加以
证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必
证明）．
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆 过点 ，且点 在 轴的射影恰为该椭圆的一
个焦点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 的一个焦点 作与 轴不垂直的任意直线 交椭圆于 、 两点，线段 的垂直平分线
交 轴于点 ，则 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
3．已知椭圆 ，离心率 分别为左、右焦点，椭圆 上一点 满足
，且△ 的面积为 1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点．过点 且平行于 的直线交椭圆于点
， ，证明： 为定值．
4．已知椭圆 的离心率为 ，上顶点 到直线 的距离为 3．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且 ，求 直线方程；（注意用两
种方法作答，每种方法 4分）
（3）设直线 过点 且与椭圆 相交于 ， 两点， 不经过点 ，证明：直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值．
5．已知椭圆 ， 的离心率等于 ，点 在椭圆上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左右顶点分别为 ， ，过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点，是否存在
定直线 ，使得 与 的交点 总在直线 上？若存在，求出一个满足条件的 值；若不存在，
说明理由．
6． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 椭 圆 的 离 心 率 为 ， 上 顶 点 在 直 线
上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（ Ⅱ ） 过 原 点的 直 线 与 椭 圆 交 于 ， 两 点 ， 不 是 椭 圆 的 顶 点 ） ．点 在 椭 圆 上 ， 且
，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点．
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，问是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由；
求 面积的最大值．
7．已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 的右焦点， 是右准线与 轴的交点，
且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 上顶点 的直线 交椭圆另一点 ，交 轴于点 ，若 ，求直线 的方程；
（3）设点 ，过点 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 交于点
，试问 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
8．已知椭圆 的右焦点为 ，过 作与坐标轴不垂直的直线 ，交椭圆于 、 两点，线段
的中垂线 交 轴于点 ．
（1）若 ，求 点坐标；
（2）问： 是否为定值．
9．已知椭圆 的离心率为 ， 、 是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的一个
动点，且△ 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
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