《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第23讲 定点问题（原卷版）

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第23 讲 定点问题
一．选择题（共 1小题）
1．已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、
为切点，则直线 经过定点 　　
A．B．C．D．
二．解答题（共 18 小题）
2．已知圆 的圆心坐标为 ，且该圆经过点 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若点 也在圆 上，且弦 长为 8，求直线 的方程；
（3）直线 交圆 于 ， 两点，若直线 ， 的斜率之积为 2，求证：直线 过一个定点，并求出
该定点坐标．
3．已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，点 是椭圆 的右焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，则在 轴上是否存在一点 ，使得 轴平分 ？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知椭圆 的离心率是 ，一个顶点是 ，点 ， 是椭圆 上异于点
的任意两点，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）试问直线 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
5．已知 ， 分别为椭圆 的左，右顶点， 为 的上顶点， ． 为椭圆
外一点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）证明：直线 过定点．
6．已知抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合， 为直线 上的动
点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）证明直线 过定点．
7．已知椭圆 过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 分别作斜率为 、 的椭圆的动弦 、 ，设 、 分别为线段 、 的中点，
若 ，是否存在一个定点 ，使得其在直线 上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．已知左焦点为 的椭圆过点 ．过点 分别作斜率为 ， 的椭圆的动弦 ， ，
设 ， 分别为线段 ， 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为线段 的中点，求 ；
（3）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
9．已知椭圆 ， 为其左焦点，点 ， ， ， 分别为椭圆的左、
右顶点，且 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条射线分别与椭圆交于 、 两点（均异于点 ，且 ，证明：直线 恒
过 轴上的一个定点．
10．已知椭圆 的左右顶点分别为 ， ，点 为椭圆上异于 ， 的任意一点．
（Ⅰ）求直线 与 的斜率之积；
（Ⅱ）过点 作与 轴不重合的任意直线交椭圆 于 ， 两点．证明：以 为直径的圆恒过
点 ．
11．已知点 ， ，抛物线 ，过点 的动直线 交抛物线 于 ， 两点，直线
交抛物线 于另一点 ， 为坐标原点．
（1）求 ；
（2）证明：直线 恒过定点．
12．已知点 ， 和抛物线 ， 为坐标原点，过点 的动直线 交抛物线 于 、
，直线 交抛物线 于另一点 ，如图
（1）证明： 为定值；
（2）若 的面积为 ，求向量 与 的夹角；
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