《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第23讲 定点问题（解析版）

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第23 讲 定点问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 1小题）
1．已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、
为切点，则直线 经过定点 　　
A．B．C．D．
【解答】解：因为 是直线 的任一点，所以设 ，
因为圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，
所以 ， ，
则点 、 在以 为直径的圆上，即 是圆 和圆 的公共弦，
则圆心 的坐标是 ， ，且半径的平方是 ，
所以圆 的方程是 ，①
又 ，②，
② ① 得， ，即公共弦 所在的直线方程是： ，
即 ，
由 得 ， ，
所以直线 恒过定点 ， ，
故选： ．
二．解答题（共 18 小题）
2．已知圆 的圆心坐标为 ，且该圆经过点 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若点 也在圆 上，且弦 长为 8，求直线 的方程；
（3）直线 交圆 于 ， 两点，若直线 ， 的斜率之积为 2，求证：直线 过一个定
点，并求出该定点坐标．
【解答】（1）解：设圆的标准为 ，把 代入得 ，
故圆的标准方程为 ．
（2）解：①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时弦 长为 8，符合题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，则 ，
所以 ， ，
根据弦 长为 8，可得 ，
解得 ，所以直线 的方程为 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ；
（3）证明：当直线 斜率不存在时，设 ， ，
直线 ， 的斜率之积为 2， ，
，即 ，
点 在圆上，
，
联立 ，无解，舍去，
当直线 斜率存在时，设直线 ， ， ， ， ，
①
联立方程 ，
， ，
代入①，得 ，
化简得 ， 直线 的方程为： ，所以过定点 ．
3．已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，点 是椭圆 的右焦点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，则在 轴上是否存在一点 ，使得 轴平分 ？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得 解得： ， ．
所以椭圆 的方程为 ．
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