《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第21讲 向量的转换与计算（解析版）
第21 讲 向量的转换与计算
参考答案与试题解析
一．选择题（共 1小题）
1． 是抛物线 的焦点，过 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 ， ， 交抛物线 于点 ，
， 交抛物线 于点 ， ，则 的最小值是
A．8 B．C．16 D．
【解答】解：抛物线 的焦点 ，设 的方程： ， 的方程 ，
， ， ， ， ， ， ， ，
由 ，消去 得： ，
， ．
由 ，消去 得： ，
， ， （9分）
，
．
当且仅当 ，即 时， 有最小值 16， （12 分）
故选： ．
二．解答题（共 14 小题）
2．已知抛物线 的准线为 ，焦点为 ， 的同心在 轴的正半轴上，且与 轴相切，
过原点作倾斜角为 的直线 ，交 于点 ，交 于另一点 ，且 ．
（Ⅰ）求 和抛物线 的方程；
（Ⅱ）过点 作两条斜率存在且互相垂直的相交线 、 ，设 与抛物线 相交于点 、 ， 与抛物线
相交于点 、 ，求 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）准线 交 轴于 ，在 中，
， ， ，
抛物线方程是 ，
在 中， ， ，
，
的方程是 ．
（Ⅱ）由题意知，直线 的斜率存在且不为 0，设为 ，
由 ，得： ，
设 ， ， ， ，则 ， 是上述方程的两个实根，
， ，
， 的斜率为 ，
设 ， ， ， ，则同理得 ， ，
．
当且仅当 时，即 时，
取最小值 16．
3．已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线 的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于 为坐标原点）的直线 ，使得直线 与 的距离等于 ？若存在，求直线
的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线 的焦点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ， ，设 与抛物线 相交于点 ， ，
与抛物线 相交于点 ， ，求 的最小值．
【解答】解：（1）将 代入 ，得
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