《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第20讲 共线向量问题（原卷版）

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第20 讲 共线向量问题
一．解答题（共 18 小题）
1．已知直线 ，椭圆 ．
（Ⅰ）若不论 取何值，直线 与椭圆 恒有公共点，试求出 的取值范围及椭圆离心率 关于 的函数
关系式；
（Ⅱ）当 时，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴交于点 ．若 ，求椭圆 的
方程．
2．已知直线 与椭圆 相交于 ， 两个不同的点，记直线 与 轴的交
点为 ．
（Ⅰ）若 ，且 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值，及 的面积．
3．已知直线 与椭圆 相交于 、 两个不同的点，记 与 轴的交点为 ．
（Ⅰ）若 ，且 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值，及此时椭圆的方程．
4．在平面直角坐标系中，已知 ，若实数 使得
为坐标原点）
（1）求 点的轨迹方程，并讨论 点的轨迹类型；
（2）当 时，若过点 的直线 与（1）中 点的轨迹交于不同的两点 ， 在 ， 之
间），试求 与 面积之比的取值范围．
5．如图，动点 到两定点 、 构成 ，且 ，设动点 的轨迹为 ．
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 、 ，且 ，求 的取值范
围．
6．如图，动点 与两定点 、 构成 ，且直线 、 的斜率之积为 4，设动点 的
轨迹为 ．
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 、 ，且 ，求 的取
值范围．
7．在平面直角坐标系 中，已知 的两个顶点 ， 的坐标分别为 ， ，且 ， 所
在直线的斜率之积等于 ，记顶点 的轨迹为曲线 ．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴相交于点 ，与曲线 相交于不同的两点 ， （点 在点 和
点 之间），且 ，求实数 的取值范围．
8．已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直
线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（Ⅰ）求直线 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设 为原点， ， ，求证： 为定值．
9．如图，已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ．
（1）求直线 的斜率的取值范围；
（2）设 为原点，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ． ， ，求证：
为定值．
10．已知点 在抛物线 上，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 、 ，且
直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（1）求直线 的斜率的取值范围；
（2）设 为原点， ， ，试判断 是否为定值，若是，求 值；若不是，
求 的取值范围．
11．已知 ，直线 ，动圆 与 相外切，且与直线 相切．设动圆圆心 的
轨迹为 ，过点 的直线 与曲线 有两个不同的交点 、 ．
（1）求直线 的斜率的取值范围；
（2）设 为原点，点 ，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ， ， ，求
证： 为定值．
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