《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第20讲 共线向量问题（解析版）

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第20 讲 共线向量问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 18 小题）
1．已知直线 ，椭圆 ．
（Ⅰ）若不论 取何值，直线 与椭圆 恒有公共点，试求出 的取值范围及椭圆离心率 关于 的函数
关系式；
（Ⅱ）当 时，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴交于点 ．若 ，求椭圆 的
方程．
【解答】解：（Ⅰ） 直线 恒过定点 ，且直线 与椭圆 恒有公共点，
点 在椭圆 上或其内部，得 ，
解得 ，且 ．（3分）
（联立方程组，用判别式法也可）
当 时，椭圆的焦点在 轴上， ；
当 时，椭圆的焦点在 轴上， ．
（6分）
（Ⅱ）由 ，消去 得 ．
设 ， ， ， ，则 ①，②．
， 由 得 ③．（9分）
由①③得④．
将③④代入②得， ，解得 不合题意，舍去）．
椭圆 的方程为 ．（12 分）
2．已知直线 与椭圆 相交于 ， 两个不同的点，记直线 与 轴的交
点为 ．
（Ⅰ）若 ，且 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值，及 的面积．
【解答】解：设 ， ， ，
联立 得：
因此， ，
（6分）
，可得： ，
直线 与 轴的交点为 ， ， ， ， ， （9分）
由 得： ，代入 ，
得：
消去 得： （12 分）
（15 分）
3．已知直线 与椭圆 相交于 、 两个不同的点，记 与 轴的交点为 ．
（Ⅰ）若 ，且 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值，及此时椭圆的方程．
【解答】解：设 ， ， ， ，
（Ⅰ）由 得 ，
则 ， ，
则 ，解得 ．
（Ⅱ）由 ，得 ，
则 ， ，
由 得 ， ， ，
解得 ，代入上式得：
，则 ，
，
当且仅当 时取等号，此时 ， ，
又 ，
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