《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题（原卷版）

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第19 讲 利用平面向量解决平行四边形问题
一．解答题（共 16 小题）
1．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 经过 ，且离心率 ，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点 且斜率 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．
①求 的取值范围．
②设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在常数 ，使向量 与 共线？
如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
2．已知椭圆 的右焦点 ，点 ， 为椭圆的半焦距）在 轴上，若椭圆的离心
率 ，且 ．
（1）求椭圆方程；
（2）若过 的直线交椭圆与 ， 两点，且 与向量 共线（其中 为坐标原点），求
证： ．
3．在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、
，
（Ⅰ）若 ；求直线 的斜率 的值；
（Ⅱ）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在常数 ，使得向量 与
共线，如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由．
4．如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点， 不在 轴上，过 引抛物
线的切线，切点分别为 ， ．
（Ⅰ）设线段 的中点为 ；
（ⅰ）求证： 平行于 轴；
（ⅱ）已知当 点的坐标为 时， ，求此时抛物线的方程；
（Ⅱ）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，其中，点 满足
为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知点 ， 的坐标分别是 ， ， ， ，动点 满足直线 和 的斜率之积为
，记 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与曲线 相交于 ， 两点，若曲线 上存在点 ，使得四边形 为平行四边
形（其中 为坐标原点），求 的取值范围．
6．如图所示，已知圆 与直线 相切．
（Ⅰ）求 的值．
（Ⅱ）直线 与圆 相交于 ， 两点，若在圆 上存在一点 ，使四边形 为平行四边
形，求实数 的取值范围．
7．在 中， ， 的坐标分别是 ，点 是 的重心， 轴上一点 满足
，且 ．
（Ⅰ）求 的顶点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）直线 与轨迹 相交于 ， 两点，若在轨迹 上存在点 ，使四边形 为平行四
边形（其中 为坐标原点），求 的取值范围．
8．已知椭圆 ，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线
段 的中点为 ．
（1）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（2）若 过点 ， ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时
的斜率；若不能，说明理由．
9．设 为椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，直线 与以原点
为圆心、以椭圆 的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆相交于 ， 两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另一点 ．问是否
存在直线 ，使得四边形 的对角线互相平分？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由．
10．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，四边形
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