《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第18讲 向量的数量积问题（原卷版）

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第18 讲 向量的数量积问题
一．解答题（共 16 小题）
1．已知圆 交抛物线 的准线于 ， 两点 点在上方），且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，求直线 的斜率．
2．已知抛物线 的焦点在 轴上，顶点在原点且过点 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两
点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）是否存在直线 ，使得以 为直径的圆 经过点 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明
理由．
3．已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线 的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于 为坐标原点）的直线 ，使得直线 与 的距离等于 ？若存在，求直线
的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线 的焦点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ， ，设 与抛物线 相交于点 ， ，
与抛物线 相交于点 ， ，求 的最小值．
4．已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点（不同于
点 ，直线 ， 分别交直线 于点 ，
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知 为原点，求证： 为定值．
5．已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于 ， 两点．椭圆 的
中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 ．
（1）分别求抛物线 和椭圆 的方程；
（2）经过 ， 两点分别作抛物线 的切线 ， ，切线 与 相交于点 ．证明： ；
（3）椭圆 上是否存在一点 ，经过点 作抛物线 的两条切线 ， ， 为切点），使得
直线 过点 ？若存在，求出点 及两切线方程，若不存在，试说明理由．
6． 已 知 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ， 点 在 椭 圆 上 ， 且 满 足
．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 为坐标原点）．证明：总存在
一个确定的圆与直线 相切，并求该圆的方程．
7．设 ， 为双曲线 的左、右顶点，直线 过右焦点 且与双曲线 的右支交
于 ， 两点，当直线 垂直于 轴时， 为等腰直角三角形．
（1）求双曲线 的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点 点距离的最小值为 3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，当直线 的倾斜角变化时，以 为直径的圆
是否过 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
8．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点圆 与椭圆有且仅有
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