《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第18讲 向量的数量积问题（解析版）

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第18 讲 向量的数量积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 16 小题）
1．已知圆 交抛物线 的准线于 ， 两点 点在上方），且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，求直线 的斜率．
【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（2）由（1）可知焦点 的坐标为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
所以 ， ，
抛物线的准线方程为 ，联立圆 的方程 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
不满足 ，
所以直线 的斜率不存在不满足条件．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
则 ， ，
又 ，
所以 ， ，
，
解得 ，
所以直线 的斜率为 2．
2．已知抛物线 的焦点在 轴上，顶点在原点且过点 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两
点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）是否存在直线 ，使得以 为直径的圆 经过点 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明
理由．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线 的方程为 ，而 在抛物线上，
，即 ，
抛物线 的方程为： ．
（2）由题意可设 ，代入 ，得： ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
，
，
， ， ， ， ， ，
若以 为直径的圆 经过点 ，则 ，
，
，即 ， ．
存在直线 ， 的方程： ．
3．已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线 的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于 为坐标原点）的直线 ，使得直线 与 的距离等于 ？若存在，求直线
的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线 的焦点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ， ，设 与抛物线 相交于点 ， ，
与抛物线 相交于点 ， ，求 的最小值．
【解答】解：（1）将 代入 ，得 ，解得 ．
故所求抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ．
（2）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，
由 得 ．
直线 与抛物线 有公共点，
△，解得 ，
由直线 与 的距离 ，可得 ，解得 ．
， ，
符合题意的直线 存在，其方程为 ．
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