《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第17讲 直线的斜率问题（原卷版）

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第17 讲 直线的斜率问题
一．解答题（共 18 小题）
1．已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直
线 交于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
2．设椭圆 的焦距为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ，试判
断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
3．如图， ， 分别是椭圆 的左右顶点， 为其右焦点，2是 与 的等
差中项， 是 与 的等比中项．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 是椭圆 上异于 ， 的动点，直线 过点 且垂直于 轴，若过 作直线 垂直于 ，
并交直线 于点 ．证明： ， ， 三点共线．
4．已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 ， 两点，
点 在 上， ．
（Ⅰ）当 ， 时，求 的面积；
（Ⅱ）当 时，求 的取值范围．
5．已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 交于（不同于点 的） ， 两点．试判断直线 与
轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
6．已知椭圆 过点 ， 为椭圆的半焦距，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）过点 作两条相互垂直的直线 ， 与椭圆 分别交于另两点 ， ，若线段 的中点在 轴上，
求此时直线 的方程．
7．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知双曲线 的右焦点 到双曲线 的
一条渐近线 的距离为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）如图，过圆 上一点 作圆 的切线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，
以 为直径的圆经过双曲线 的右顶点 ，求直线 的方程．
8．已知双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ，点 为坐标原点，直线 与
轴交于点 ，且与一条渐近线交于点 ，又 ，过点 的直线 与双曲线右支交于点
， ，点 为点 关于 轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断 ， ， 三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形 面积的最小值．
9．设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，点 的坐标为 ．
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： ．
10．在直角坐标系 中，曲线 与直线 交于 ， 两点．
（Ⅰ）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程．
（Ⅱ） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？（说明理由）
11．在直角坐标系 中，曲线 与直线 交于 ， 两点．
（1）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程；
（2） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由．
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，且 也是抛物线 的焦点，
为椭圆 与抛物线 在第一象限的交点，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点，问是否在 轴上存在一点 ，使得当 变动时，总有
？说明理由．
13．一个圆经过点 ，且和直线 相切．
（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；
（2）已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与轨迹 交于不同的两点 、 ，若 轴是 的角平
分线，证明直线 过定点．
14．设抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点．
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