《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第17讲 直线的斜率问题（解析版）
第17 讲 直线的斜率问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 18 小题）
1．已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直
线 交于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆 的标准方程为 ．
所以 ， ， ．
所以椭圆 的离心率 ．
（Ⅱ）因为 过点 且垂直于 轴，所以可设 ， ．
直线 的方程为 ．
令 ，得 ．
所以直线 的斜率 ．
（Ⅲ）直线 与直线 平行．证明如下：
当直线 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 ．
又因为直线 的斜率 ，所以 ．
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ．
设 ， ， ， ，则直线 的方程为 ．
令 ，得点 ．
由 ，得 ．
所以 ， ．直线 的斜率为： ，因为
所以 ，
．
综上，直线 与直线 平行．
2．设椭圆 的焦距为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ，试判
断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1） 椭圆 的焦距为 ，且经过点 ，
根据题意得： ，即 ①，
把 代入椭圆方程得： ，
把 代入①得： ，
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）直线 与直线 平行．
证明如下：
过点 且垂直于 轴，
可设 ， ，
， 直线 的方程为： ，
令 ，得 ，
直线 的斜率 ．
当直线 的斜率不存在时， ．
又 直线 的斜率 ， ；
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
设 ， ， ， ，
则直线 的方程为 ，
令 ，则点 ，
直线 的斜率 ，
联立 ，得 ，
由韦达定理，得 ， ，
，
，即 ；
综上所述，直线 与直线 平行．
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