《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（原卷版）

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第16 讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题
一．解答题（共 25 小题）
1． 椭 圆 的 焦 点 到 直 线 的 距 离 为 ， 离 心 率 为 ． 抛 物 线
的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过 的焦点与 交于 ， ，与 交于
， ．
（1）求椭圆 及抛物线 的方程；
（2）是否存在常数 ，使得 为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
2．椭圆 的右焦点 到直线 的距离为 ，抛物线 的
焦点与椭圆 的焦点 重合，过 作与 轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，交抛物线于 ， 两点，且
．
（1）求椭圆 及抛物线 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 交椭圆于 、 两点，交抛物线于 ， 两点，请问是否存在实常数 ，
使 为常数．若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
3．已知椭圆 的右焦点到直线 的距离为 5，且椭圆 的一个长轴端点
与一个短轴端点间的距离为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）给出定点 ， ，对于椭圆 的任意一条过 的弦 ， 是否为定值？若是，求
出该定值，若不是，请说明理由．
4．已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交椭圆于 、 两点，且 ，求直
线 的斜率 的取值范围．
5．已知 ， 为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且过点 的直线
交椭圆于 ， 两点，△ 的周长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线 的焦点为 的弦 满足
．”那么对于椭圆 ，问否存在实数 ，使得 成
立，若存在求出 的值；若不存在，请说明理由．
6．已知椭圆 ，椭圆 上任意一点 到椭圆两个焦点 、 的距离之和为 4，且
的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求 的取值范围．
7．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，焦距为 2，过 作斜率存在且不为零的
直线 交 于 ， 两点，且△ 的周长为 8．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知弦 的垂直平分线 交 轴于点 ，求证： 为定值．
8．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上的点，且 ，坐
标原点 到直线 的距离是 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）过椭圆 的上顶点 作斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 ，点 在椭圆 上，且
，求证：存在 ，使得 ．
9．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过点 作斜率为 的直线 交
于 ， 两点．当 时，点 ， ， ， 恰在以 为直径且面积为 的圆上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求直线 的方程．
10．已知椭圆 ，离心率 分别为左、右焦点，椭圆 上一点 满足
，且△ 的面积为 1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点．过点 且平行于 的直线交椭圆于点
， ，证明： 为定值．
11．平面直角坐标系 中， 是椭圆 的左焦点，过点 且方向向量为
的光线，经直线 反射后通过左顶点 ．
求椭圆 的方程；
过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点， 为 的中点，直线 为原点）与
直线 交于点 ，若满足 ，求 的值．
12．如图，已知抛物线 ，点 ， ， ， ，抛物线上的点 ， ，过点
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