《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（解析版）
第16 讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 25 小题）
1． 椭 圆 的 焦 点 到 直 线 的 距 离 为 ， 离 心 率 为 ． 抛 物 线
的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过 的焦点与 交于 ， ，与 交于
， ．
（1）求椭圆 及抛物线 的方程；
（2）是否存在常数 ，使得 为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的右焦点 ，由题意可得 ，可得 ，
再由 ，所以可得 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为： ；
因为抛物线的焦点 ，所以 ，
所以抛物线的方程： ，
所以椭圆的方程为： ，
抛物线的方程： ；
（2）设直线 的方程为： ，并设 ， ， ， ， ， ， ， ，
联立 整理可得： ，
， ，
所以 ，
，
联立 整理可得： ，
，所以 ，
得 ，要使其为定值，则对应比成比例，
所以可得 ，
即 时， 为定值 ．
2．椭圆 的右焦点 到直线 的距离为 ，抛物线 的
焦点与椭圆 的焦点 重合，过 作与 轴垂直的直线交椭圆于 ， 两点，交抛物线于 ， 两点，且
．
（1）求椭圆 及抛物线 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 交椭圆于 、 两点，交抛物线于 ， 两点，请问是否存在实常数 ，
使 为常数．若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆 、抛物线 的公共焦点 ，
由点到直线的距离公式得
解得 ，故 ，即 ，
由 ，
得 ，
，即 ，
又 ，解得
故椭圆 的方程为 ，
抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ， ， ， ， ， ， ．
把直线 的方程 ，与椭圆 的方程联立，得 ，
整理得
，
把直线 的方程 ，与抛物线 的方程联立，得 ，
得
，
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