《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结（原卷版）

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第15 讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结
一．解答题（共 19 小题）
1．如图，已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，点 在抛
物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧．记 ， 的
面积为 ， ．
（1）若直线 的斜率为 ，求以线段 为直径的圆的面积；
（2）求 的最小值及此时点 的坐标．
2．如图，已知点 为抛物线 的焦点．过点 的直线交抛物线于 ， 两点，点 在
抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 的右侧．记 ，
的面积分别为 ， ．
（Ⅰ）求 的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求 的最小值及此时点 的坐标．
3．已知椭圆 的右焦点为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 的右顶点，过点 的直线 与 交于 、 两点（均异于 ，直线 、 分别交
直线 于 、 两点，证明： 、 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、 为焦点的抛物线为 ，如图，过点 的直线与 交于 、 两点，点
在 上，并使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在 的右侧，设 、
的面积分别为 、 ，是否存在锐角 ，使得 成立？请说明理由．
4．已知双曲线 的焦距为 ，其中一条渐近线的方程为 ．以双曲线 的实轴为
长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 ，过原点 的动直线与椭圆 交于 、 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若点 为椭圆的左顶点， ，求 的取值范围；
（Ⅲ）若点 满足 ，求证 为定值．
5．已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，且经过点 ， 为椭圆上
的动点，以 为圆心， 为半径作圆 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若圆 与 轴有两个交点，求点 横坐标的取值范围．
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且椭圆 上的点 满足
， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）作直线垂直于 轴，交椭圆 于点 ， ，点 是椭圆 上异于 ， 两点的任意一点，直线 ，
分别与 轴交于 ， 两点，判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
7．已知椭圆 的左右焦点坐标为 ，且椭圆 经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 是椭圆 上位于第一象限内的动点， ， 分别为椭圆 的左顶点和下顶点，直线 与
轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边形 的面积．
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