《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结（解析版）

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第14 讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结
参考答案与试题解析
一．解答题（共 16 小题）
1．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，短轴的两个端点分别是 、 ．
（1）若△ 为等边三角形，求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 的短轴长为 2，过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，且以 为直径的圆经过点 ，
求直线 的方程．
【解答】解：（1） 椭圆 的两个焦点分别为 、 ，
短轴的两个端点分别是 、 ，△ 为等边三角形，
，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ．
（2） 椭圆 的短轴长为 2，椭圆 的两个焦点分别为 、 ，
椭圆 的标准方程为 ，
过点 直线 与椭圆 相交于 、 两点，且以 为直径的圆经过点 ，
当直线 的斜率 不存在时，直线 为 ，此时以 为直径的圆不经过点 ，不成立；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
由 ，得 ．
设 ， ， ， ，则
， ，
， ， ， ，
过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，且以 为直径的圆经过点 ，
， ，
，解得 ，即 ．
故直线 的方程为 或 ．
2．已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦 的长为 8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，设不垂直于 轴的直线与轨迹 交于不同的两点 ， ，若 轴是 的角平
分线，证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心 ， ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，
，
，化为 ．
当 时，也满足上式．
动圆圆心的轨迹 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ， ， ，
由题意可知 ， ， ．
轴是 的角平分线， ，
， ，化为 ．
直线 的方程为 ，
，化为 ，
化为 ，
，令 ，则 ，
直线 过定点
3．设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2） 设 点 在 椭 圆 上 ， 且 异 于 椭 圆 的 上 、 下 顶 点 ， 点 为 直 线 与 轴 的 交 点 ， 点 且
为原点），求直线 的斜率．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为 ，
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