《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第13讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类（解析版）

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第13 讲 破解离心率问题之第二、三定义及双曲线交点个数类
参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．已知椭圆 的左、右顶点分别为 和 ， 是椭圆上不同于 ， 的一点．设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则当 取最小值时，椭圆 的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意可得 ， ，设 ，
则 ，
而 ， ，
所以 ，
又
，
令 ，
则 ，
所以 ，
所以当 时， 最小，即 ，
所以 ，
故选： ．
2．已知椭圆 的左、右顶点分别为 和 ， 是椭圆上不同于 ， 的一点．
设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则当 取最小值时，椭圆
的离心率为 　　
A．B．C．D．
【解答】解： ， ，设 ， ，则 ，
则 ， ， ，
则 ．
令 ， ，
，
故 时， 取最小值，
椭圆 的离心率为 ．
故选： ．
3．已知椭圆 的左，右顶点分别为 ， ，点 是椭圆 上与 ， 不重合的动点，
若直线 ， 斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得 ， ，设 ， ，
则由 在椭圆上可得 ，①
直线 与 的斜率之积为 ，
，②
把①代入②化简可得 ，
，
故选： ．
4．设 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆上异于 ， 的点，直线 ， 的斜
率分别为 ， ，若 ，则该椭圆的离心率为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得 ， ，设 ， ，
则由 在椭圆上可得 ，①
直线 与 的斜率之积为 ，
，②
把①代入②化简可得 ， ， 离心率 ．
故选： ．
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