《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第9讲 破解离心率问题之顶底角公式（解析版）

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第9讲 破解离心率问题之顶底角公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共 6小题）
1．如图，已知双曲线 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为双曲线的右
焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该双曲线离心率 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在 中， ，
，
在直角三角形 中， ，可得 ， ，
取左焦点 ，连接 ， ，可得四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
故选： ．
2．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，若存在点 为椭圆上一点，使得 ，
则椭圆离心率 的取值范围是 　　
A．B．C．D．
【解答】解：如图，当动点 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角
渐渐增大，当且仅当 点位于短轴端点 处时，
张角 达到最大值．由此可得：
存在点 为椭圆上一点，使得 ，
△中， ，可得 △ 中， ，
所以 ，即 ，其中
，可得 ，即
椭圆离心率 ，且
故选： ．
3．设 ， 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点， ， 则该椭圆离心率
的最小值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：
在以 为直径，原点为圆心的圆上，
圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：
， ，
由 可得：
故选： ．
4．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，椭圆上一点 满足 ，则该椭圆离
心率取值范围是 　　
A．B．C．D．
【解答】解：设 ， ，由余弦定理得：
，
，又 ，即 ，
解得 ， ，
， ，
得 ， ， ．
故选： ．
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