《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理（解析版）

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第8讲 破解离心率问题之椭双共焦定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共 11 小题）
1．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 、 ，椭圆
的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的交点，且 ，则 取
最大值时 的值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：设 ， ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
① ② 得， ，
① ② 得， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ③，
设 ， ，
所以 ，
当 即 时， 最大值为 ，
此时，
．
故选： ．
2．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，设椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，
则 　　
A．B．
C．D．
【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得， ，
则 ，
所以 ．
故选： ．
3．已知椭圆 与双曲线 有相同的左右焦点，分别为 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心
率为 ，且两曲线在第二象限的公共点为点 ，且满足 ，则 的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为 ，设 ， ， ，
设双曲线的实半轴长为 ，半个焦距 ，
椭圆的长半轴长为 ，半个焦距为 ，
由椭圆，双曲线的定义可得 ，
，
所以椭圆的离心率 ，
所以双曲线的离心率 ，
所以 ，
故选： ．
4．已知椭圆 与双曲线 的焦点相同，离心率分别为 ， ，且满足 ， ， 是它们的公共焦
点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若 ，则双曲线 的离心率为 　　
A．B．C．2 D．
【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在 轴上，
设椭圆的方程 ，
双曲线的方程为： ，
由题意可得 ，
设 ， ， ，
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