《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第44讲 双参数问题（解析版）

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第44 讲 双参数问题
1．已知不等式 对一切 都成立，求 的最小值
【解答】解：令 ，则 ，
若 ，则 恒成立， 时函数递增，无最值．
若 ，由 得： ，
当 时， ，函数递增；
当 时， ，函数递减．
则 处取得极大值，也为最大值 ，
，
，
，令 ，
，
上， ， ， 上， ，
， ．
的最小值为 ．
故选： ．
2．已知 为自然对数的底数， ， 为实数，且不等式 对任意的 恒成
立．则当 取最大值时，求 的值
【解答】解：由于 ．
此不等式对任意 恒成立，
则需要保证 ．
令 ，则
从而 ，从而 ．
另一方面，当 ， 时， 即为 ，
设 ，则 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，
即 ， 可使不等式恒成立，
从而 可取 ．
综合上述，当 取最大值 时， ．
故选： ．
3．设函数 ，若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值
【解答】解：由题意可知， 对任意 恒成立，等价于 ，
如图， 与 轴交于点 ，直线 在曲线 上方，
则直线 与 轴交点小于等于 ，
即 ，
所以 ，
的最大值为 ，
故答案为： ．
4．已知函数 ， ，若 ， ，求 的最小值
【解答】解：由题意可得 在 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ， ， ， ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，
且 ， ，不符合题意，
当 时，令 ，可得 ，可得 ，
可得 ，所以 ，
令 （a） ， ，
则 （a） ， ，
令 （a） ，可得 ，
， （a） ， （a）单调递减，
， （a） ， （a）单调递增，
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