《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第43讲 绝对值函数（解析版）

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第43 讲 绝对值函数
1．已知函数 在 上是增函数，函数 ，当 ， 时，函数
的最大值 与最小值 的差为 ，求 的值
【解答】解：因为函数 在 上是增函数，
所以 在 上恒成立，即 ，即 ；
因为 ，
若 ，即 时， 在 ， 单调递减，
则 （舍 ，
当 ，即 时，函数 在 ， 上递减，在 ， 上递增，
且 ，所以 ，
即 ，
解得 ．
故选： ．
2．已知 ， ，若函数 在 ， 上的最大值和最小值分别记为 ， ，求
的值
【解答】解： ， ， ，
，
，
，
当 ， 时， 恒成立，
故函数 在 ， 上为减函数，
故 （1） ，
故选： ．
3．已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率为 1的切线方程；
（Ⅱ）当 ， 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 ， 上的最大值为 （a）．当 （a）最小时，
求 的值．
【解答】解：（Ⅰ） ，
由 得 ，
得 ．
又 ， ，
和 ，
即 和 ；
（Ⅱ）证明：欲证 ，
只需证 ，
令 ， ， ，
则 ，
可知 在 ， 为正，在 为负，在 为正，
在 ， 递增，在 ， 递减，在 递增，
又 ， ， ， （4） ，
，
；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
在 ， 上， ，
令 ， ，
则问题转化为当 ， 时， 的最大值 （a）的问题了，
①当 时， （a） ，
此时 ，当 时， （a）取得最小值 3；
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