《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第42讲 三角函数之放缩法（解析版）

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第42 讲 三角函数之放缩法
1．已知函数 .
(1)设 且 ，求函数 的最小值；
(2)当 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过求导来判断函数的单调性进而求出最值；
（2）构造新函数 ，转化为证明新函数的最小值大于等于 0即可.
(1)
，又 ，
又，，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减
的最小值为 ；
(2)
不等式 等价于 ，
令 ，
令 ， ，
又 ， ， ，
所以函数 在 上单调递增，又 ， ， ，
所以函数 在区间 上单调递增，又 ，
，所以原不等式成立.
2．已知 ， ， ．
（1）若 ，证明： ；
（2）对任意 都有 ，求整数 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点 ，使得 ， 在 上恒成立上可以证明
在定义域上的单调性，可知 ，便可证明结论.
（2）先判断整数 可知 ，接着证明
在区间 上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设 ， ，则 ．
因为 ，且
则 在 ，单调递减， ，
所以存在唯一零点 ，使得
则 在 时单调递增，在 上单调递减
又 ，
所以 在 上恒成立上，所以 在 单调递增
则 ，即 ，
所以 ．
（2）因为对任意的 ，
即 恒成立
令 ，则
由（1）知 ，所以
由于 为 整数，则
因此
下面证明 ，在区间 上恒成立即可.
由（1）知 ，则
故
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