《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第41讲 三角函数之分段分析法（解析版）

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第41 讲 三角函数之分段分析法
1．已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有 2个零点．
【解答】证明：（1） 的定义域为 ，
， ，
令 ，则 在 恒成立，
在 上为减函数，
又 ， ，由零点存在定理可知，
函数 在 上存在唯一的零点 ，结合单调性可得， 在 上单调递增，
在 ， 上单调递减，可得 在区间 存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当 时， 单调递增， ， 单调递减；
当 时， 单调递增， ， 单调递增；
由于 在 ， 上单调递减，且 ， ，
由零点存在定理可知，函数 在 ， 上存在唯一零点 ，结合单调性可知，
当 ， 时， 单调递减， ， 单调递增；
当 时， 单调递减， ， 单调递减．
当 ， 时， ， ，于是 ， 单调递减，
其中 ，
．
于是可得下表：
0
0 0
单调递
减
0单调递
增
大于 0单调递
减
大于 0单调递
减
小于 0
结合单调性可知，函数 在 ， 上有且只有一个零点 0，
由函数零点存在性定理可知， 在 ， 上有且只有一个零点 ，
当 ， 时， ，则 恒成立，
因此函数 在 ， 上无零点．
综上， 有且仅有 2个零点．
2．已知函数 ，证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 有且仅有 2个零点．
【解答】证明：（1）函数 ， ，
，
令 ， ，
， 函数 在 上单调递减，
又 当 时， ，而 ，
存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增；当 ， 时， ，即 ，
函数 单调递减，
函数 在区间 存在唯一极大值点 ；
（2）由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
是函数 的极大值点，且 ，
，
又 当 时， ； ，
在区间 内存在一个零点，在区间 ， 上存在一个零点，
当 时，设 ，则 ，
在 上单调递减， ，
①当 时， ， 当 时， ，无零点，
②时 ， ， 又 ， 当 时 ，
，无零点，
当 时， ， 函数 在区间 内无零点，
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