《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第40讲 指对函数问题之凹凸反转（解析版）

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第40 讲 指对函数问题之凹凸反转
1．已知函数 且 （1） ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ．
【解答】解：（1）依题意， ，又 ，解得 ，
，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
的单调递增区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）证明：要证 成立，只需证 成立，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
又由（1）可得在 上 ，
，故不等式得证．
2．已知函数 为常数）是实数集 上的奇函数，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）讨论关于 的方程 的根的个数．
【解答】解：（Ⅰ） 因为函数 为常数）是实数集 上的奇函数，
所以 ，即 ，
则 ，
解得 ，
显然 时， 是实数集 上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
方程可转化为 ，
令 ， ，
因为 ，令 ，得 ，
当 时， ，所以 在 上为增函数，
当 时， ，所以 在 上为减函数，
当 时， ，
又
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
当 时， ，
所以当 ，即 时，方程无解，
当 ，即 时，方程有一个根，
当 ，即 时，方程有两个根，
综上得：
当 时，方程无解，
当 时，方程有一个根，
当 时，方程有两个根．
3．已知函数 ， ．
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证：当 时， ．
【解答】（1）解：令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 （1） ，
因为 恒成立，即 恒成立，
则 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ， ；
（2）证明：由（1）可知， 恒成立，即 ，
所以要证 ，
只需证明 成立即可，
令 ，
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