《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第39讲 指对函数问题之指数化与对数化（解析版）

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第39 讲 指对函数问题之指数化与对数化
1．已知关于 的不等式 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围
【解答】解：由不等式 对于任意 恒成立，
可得 ，
令 ， ，
则由题意可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
故 ，即 恒成立，当 时取等号，
又 ，当 时取等号，
即 ，
令 ，则 ，
易得函数在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ，当 时， 且 （1） ，
由 （e） ，即 与 的图像有交点，
所以等号成立，
所以 ．
故答案为： ．
2．设函数 ．
（1）证明： ，都有 ；
（2）若函数 有且只有一个零点，求 的极值．
【解答】（1）证明：令 ， ，则 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 （4） ，
所以 ，
所以 ，都有 ．
（2）解：由 ，得 ，则 ，所以 ，
所以 的零点个数等价于方程 解的个数，
令 ，则 ，且 （a） ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 （1） ，且由（1）知 ，
则当 ， ，
所以 时， （a）有且只有一个解，
所以若函数 有且只有一个零点，则 ，此时 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
（1） （e） ，
所以当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，则 ，则 ，
同理可得，当 时， ，当 时， ，
所以 和 分别是函数 的极大值点和极小值点，
所以 时， 的极大值为 ，极小值为 0．
3．已知函数 ．
（1）若 是函数 的一个极值点，求 的值；
（2）若 在 ， 上恒成立，求 的取值范围；
（3）证明： 为自然对数的底数）．
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
因为 是函数 的一个极值点，故 （1） ，即 ，当 时，当经验得 是函数
的一个极值点，所以 ．
（2）因为 在 ， 上恒成立，所以 ．
当 时， 在 ， 上恒成立，即 在 ， 上为增函数
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