《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第38讲 指对函数问题之对数单身狗（解析版）

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第38 讲 指对函数问题之对数单身狗
1．已知函数 ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）对任意 ，求证： ．
【解答】解：（Ⅰ） 的定义域是 ， ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增；
（Ⅱ）证明：要证 ，即证 ，
即证 ，又 ，故 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
而 在 递增，且 （1） ， （2） ，
故存在唯一的实数 ，使得 ，
故 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
， （2） ，
故大昂 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 （2） ，
综上： ，即 ．
2．已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 在点 ， 处的切线的斜率为 1，证明：当 时
【解答】解：（1） ．
令 可得 或 ．
①若 ，即 ，则 恒成立，
在 上单调递增；
②若 ，即 ，
则当 或 时， ，当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
③若 ，即 ，
则当 或 时， ，当 时， ，
， 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．
，
，故 ． ，
设 ，
，
令 ，则 ，
显然，当 时， ，故 在 上单调递增，
又 （1） ， 当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 （1） ，
，即 ．
3．设 ．
（1）求 的最小值；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） ，
，解得 ，
，
令 ，得 ，即 ，
当 时， ；当 ， 时， ．
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