《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第37讲 指对函数问题之指数找基友（解析版）

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第37 讲 指对函数问题之指数找基友
1．若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围
【解答】解：当 时， 为 的增函数， 无最小值，不符合题意；
当 时， 即为 显然成立；
当 时， 的导数为 ，
由于 在 递增，设 的根为 ，即有 ，
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增，
可得 处 取得极小值，且为最小值 ，
由题意可得 ，即 ，
化为 ，设 ， ，
当 时， （1） ， 时， ， 递增，
可得 的解为 ，
则 ， ，
综上可得 ， ，
故选： ．
2．已知函数 ，其中 为自然对数的底数， 为常数．
（1）若对函数 存在极小值，且极小值为 0，求 的值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ， ，
当 时， ，函数在 上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当 时，由 ，可得 ，由 ，可得 ， 为函数的极小值点，
由已知， ，即 ， ；
（2）不等式 ，即 ，
设 ，则 ， ，
时， ，则 在 时为增函数， ．
①，即 时， ， 在 时为增函数， ，此时 恒成立；
②，即 时，存在 ，使得 ，从而 时， ， 在 ，
上是减函数，
时， ，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ， ．
3．已知 为自然对数的底数）．
（1）若 在 处的切线过点 ，求实数 的值；
（2）当 ， 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） ， ． ，
在 处的切线方程为 ，
切线过点 ， ， ．
（2）由 ，可得 ，
令 ， ，
，且 ， ，
存在 ，使得 ，
当 时， ；当 时， ．
①当 时， ， ，
此时，对于任意 式恒成立；
②当 时， ，
由 ，得 ，
令 ，下面研究 的最小值．
与 同号，
且 对 成立，
函数 在 上为增函数，而 ，
时， ， ，
函数 在 上为减函数， ， ．
③当 ， 时， ，
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