《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第36讲 指对函数问题之分离与不分离（解析版）

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第36 讲 指对函数问题之分离与不分离
1．若关于 不等式 恒成立，求实数 的取值范围
【解答】解：【方法一】设 ， ，
则 ，
且 （1） ，
是 的极值点，也是最值点；
恒成立，
又 时， 恒成立，
的取值范围是 ， ．
【方法二】不等式 可化为 ，
设 ， ，其中 ；
，
令 ，解得 或 （舍去），
时 取得极大值，也是最大值，为 0；
又 ，
令 ，解得 ，
时 取得极值，也是最值， 时 取得最小值为 ；
由题意知实数 的取值范围是 ．
故选： ．
2．若关于 的不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的最小值
【解答】解：对任意的 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
函数 与函数 互为反函数，又 时， ，
原问题等价于 恒成立，则 ，即 在 恒成立，
设 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， 递减， 时， 递增，
则 （1） ，
故 ，即 ，
故答案为： ， ．
3．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明： ．
【解答】（1）解： ， ，
①若 时， ， 在 上单调递减；
②若 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
综上，若 时， 在 上单调递减；
若 时， 在 上单调递减；
在 上单调递增；
（2）证明：要证 ，只需证 ，
由（1）可知当 时， ，即 ，
当 时，上式两边取以 为底的对数，可得 ，
用 代替 可得 ，又可得 ，
所以 ，
，
即原不等式成立．
4．已知 ．
（1） 时，求 的单调区间和最值；
（2）①若对于任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
②求证： ．
【解答】解：（1）当 时， ，则 ，
易知函数 在 ， 上为增函数，而 （1） ，
故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
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