《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第35讲 函数与数列不等式问题（原卷版）

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第35 讲 函数与数列不等式问题
1．已知函数 ，其中 为实常数．
（1）若函数 定义域内恒成立，求 的取值范围；
（2）证明：当 时， ；
（3）求证： ．
2．证明： ．
3．已知 ， 为自然对数的底数）．
（1）求证： 恒成立；
（2）设 是正整数，对任意正整数 ， ，求 的最小值．
4．已知函数 ， ，（其中 ， 为自然对数的底数， ．
（1）令 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值．
5．设函数 ．
（Ⅰ）当 时，判断函数 的单调性；
（Ⅱ）若对任意的正整数 都有 ，求 的最小值．
6．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明：
；
证明： ．
7．已知二次函数 满足 ， ， ， ．
（1）求 的解析式；
（2）求证： 时， ；
（3）求证： ．
8．定义：若 在 ， 上为增函数，则称 为“ 次比增函数”，其中 ，已知 ．
（其中
（Ⅰ）若 是“1次比增函数”，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，求函数 在 ， 上的最小值；
（Ⅲ）求证： ．
9．已知数列 满足： ， ，证明：当 时，
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
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