《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第33讲 整数解问题之直接限制法（解析版）

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第33 讲 整数解问题之直接限制法
1．已知偶函数 满足 ， ，且当 ， 时， ，关于 的不等
式 在 ， 上有且只有 300 个整数解，求实数 的取值范围
【解答】解： 偶函数 满足 满足 ，
，
的周期为 8，且 的图象关于直线 对称．
由于 ， 上含有 50 个周期，且 在每个周期内都是轴对称图形，
关于 的不等式 在 ， 上有 3个整数解．
当 ， 时， ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
（1） ， （2） （3） （4） ，
当 ，2，3， 时， ，
当 时， 在 ， 上有 4个整数解，不符合题意，
，
由 可得 或 ．
显然 在 ， 上无整数解，
故而 在 ， 上有 3个整数解，分别为 1，2，3．
（4） ， （3） ， （1） ，
．
故选： ．
2．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，若该不等式在 中有且只有
一个整数解，求实数 的取值范围
【解答】解：关于 的不等式 化为： ，
令 ， ，
则 ．
令 ， 在 上单调递增，
因此存在 ，使得 ， ，
，
（1） ， （2） ．
因此存在 ，使得 ，
因此函数 在 内单调递减，在 ， 单调递增．
（1） ， （2） ．
关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，
该不等式在 中有且只有一个整数解，
实数 的取值范围是 ．
另解：式子可化为 ，令 ，则 必过 ，因为 之间含一个整数解，那
么这个整数解必须是 1，且 ， ，通过这个进一步可以确定 的范围．
故选： ．
3． 已 知 偶 函 数 满 足 ， 且 当 ， 时 ， ， 关 于 的 不 等 式
在 ， 上有且只有 300 个整数解，求实数 的取值范围
【解答】解： 是偶函数， ，
， ，
的周期为 ．
当 ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减．
又 （1） ， （4） ，且 是以 8为周期的偶函数，
当 为整数时， ，
在 ， 上有 300 个整数解，
在 ， 上有 3个整数解，显然这三个整数解为 1，2，3，
即 在 ， 上有三个整数解 1，2，3．
，即 ，解得： ．
故答案为： ， ．
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