《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第32讲 整数解问题之虚设零点（解析版）

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第32 讲 整数解问题之虚设零点
1．设函数 .
（1）求函数 的单调增区间；
（2）当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 x的不等式 有解？若存在，请求
出 的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ）
【答案】
（1）答案见解析
（2）存在， 的最小值为 0
【分析】
（1）求出函数的导数，就 的不同取值可求 的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求 ，从而可得整数 的最小值.
（1）
因为 ，
所以 ，
① 当 时，由 ，解得 ；
② 当 时，由 ，解得 ；
③ 当 时，由 ，解得 ；
④ 当 时，由 ，解得 ；
⑤ 当 时，由 ，解得 ，
综上所述，当 时， 的增区间为 ；
当 时， 的增区间为 ；
时， 的增区间为 .
（2）
当 时， ，所以 ，
而 ，
因为 均为 上的增函数，
故 为 上的增函数，
而，，
故 在 上有且只有一个零点 ，
且 且 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
而整数 ，使得关于 x的不等式 有解，故 ，
故存在整数 满足题意，且 的最小值为 0.
【点睛】
思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系
式化简最值，从而得到最值的范围或符号.
2．已知函数 ，求：
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，总有 ，求整数 的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）
当 时，
在点 处的切线方程为 即
（2）
由题意， ，即 ，即 ，
又 ， 恒成立.
令 ，
令 ，则 恒成立.
在 上递减，
，
使 ，即 ，则 ，
当 时， ，当 时，
因为 ，且 ， ，即整数 k的最小值为-3
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