《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第20讲 不等式恒成立之max，min问题（解析版）

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第20 讲 不等式恒成立之 max，min 问题
一、解答题
1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数 ， ，其中
.
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示 m，n中的最大值，记 .是否存在实数 a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 的取值范围是 .
【分析】
（1）对 求导，得到 ，对 x分 讨论即可得答案；
（2）由题意，将 恒成立转化为当 时， 恒成立即可，对 求导得 ，
分 、 、 三种情况讨论，结合单调性可得答案.
【详解】
（1）证明： ， .
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；
当 时， .
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）知，当 时， ，
又 ，
所以当 时， 恒成立，
由于当 时， 恒成立，
所以 等价于：当 时， .
.
① 若 ，当 时， ，
故 ， 递增，此时 ，不合题意；
② 若 ，当 时，由 知，存在 ，当 ，
， 递增，此时 ，不合题意；
③ 若 ，当 时，由 知，对任意 ， ， 递减，
此时 ，符合题意.
综上可知：存在实数 满足题意， 的取值范围是 .
2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数 ，
，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示 m，n中的最大值，记 .是否存在实数 a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出 a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【分析】
（1）对 求导，得到 ，对 x分 讨论即可获得证明；
（2）由题意，将 恒成立转化为当 时， 恒成立即可，对 求导得
，易得 单增，分 与 两种情况讨论，结合 的单调性及零点
存在性定理可得到满足题意的 a.
【详解】
（1） ， ,
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
当 时， ．
所以当 时， ， 在 上是增函数，
又 ，
所以当 时， ；
当 时， ．
（2）函数 的定义域为 ，
由（1）得，当 时， ，又 ，
所以当 时， 恒成立．
由于当 时， 恒成立，
故 等价于：当 时， 恒成立．
， ．
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ．
从而当 时， ， 单调递增．
① 若 ，即 ，则当 时， ， 单调递减，
故当 时， ，不符合题意；
② 若 ，即 ，取 ，
则 ，且 ，
故存在唯一 ，满足 ，当 时， ， 单调递减；
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