《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第19讲 不等式恒成立之双变量最值问题（解析版）

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第19 讲 不等式恒成立之双变量最值问题
一、解答题
1．（2021·山西晋中·三模（理））已知函数 ， ，其中 ．
（1）当 时，直线 与函数 的图象相切，求 的值；
（2）当 时，若对任意 ，都有 恒成立，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） 的最小值为 .
【分析】
（1）利用切线求出 ；
（2）先把 恒成立，转化为 对任意 恒成立，研究单调性，利用图像得到
，从而求出 的最小值.
【详解】
（1）当 时，直线 与函数 的图象相切于 ，
因为 ，所以 ，
则 且 ，即 ，解得： .
（2）若对任意 ，都有 恒成立，得 .
假设 ，则当 时， ，
而当 时， .
取 ，则当 时， ，
而 ，矛盾；故 .
当 时，由 ，得 ，即 .
下证： 能取到 .
当 时， .
记 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，
所以 ，即 .
所以 .
即对任意 恒成立，
故 的最小值为 .
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
2．（2021·浙江台州·三模）已知函数 ，其中 .(
为自然对数的底数)
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若 时， 在 上恒成立.当 取得最大值时，求 的最小值.
【答案】（1） ，（2）
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）令 ，则 ，则由题意可得 在 上单调递增，所以 ，而
，则 ， ，则可得 ，从而得
，令 ，然后利用导数求出其最小值即可
【详解】
解：（1）由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ，
（2） ，
令 ，则 ，所以
， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，此时 ，
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