《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第17讲 不等式恒成立之端点不成立问题（解析版）

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第17 讲 不等式恒成立之端点不成立问题
一、解答题
1．（2021·辽宁大连·高三月考）已知函数 （其中 ， 为自然对数的底数）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【答案】
（1）答案见解析；
（2）
【分析】
（1）计算 ，分别讨论 、 、 、 时，解不等式 和
可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（2）已知不等式可转化为 对 恒成立，分离 可得 ，令
，利用导数求 的最大值即可求解.
（1）
由 可得
，
当 时， ，当 时， ；当 时， ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
当 时，由 得， ， ，
① 若 ，即 时， 恒成立，故 在 上单调递增；
② 若 ，即 时，
由 可得： 或 ；令 可得：
此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
③ 若 ，即 时，
由 可得： 或 ；由 可得：
此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
综上所述：
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 .
（2）
由 可得 对 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，则 在 上单调递减，
又 ， ，故 在 上有唯一的实根，
不妨设该实根为 ，
故当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减，
故 ，
又因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，故 的取值范围为 ．
2．（2021·陕西安康·高三期中（理））已知函数 ， .
（1）若 ，证明： ；
（2）若 恒成立，求 a的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由 ，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）先由 可得 ，再利用导数求出函数的最小值，再根据 ，不等式的性质证明最小值
恒大于 0即可求解.
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