《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第16讲 公切线与公切点的高级应用（原卷版）

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第16 讲 公切线与公切点的高级应用
一．解答题（共 12 小题）
1．（2021 春•武汉期中）已知函数 ， ．
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 ， 的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间，并求其在区间 ， 上的最大值．
2．（2021•渝中区校级模拟）函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，设 ， 与 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，求实数 的最
大值．
3．（2021 秋•和平区校级月考）设函数 ．
（1）若 在区间 ， 上存在极值，求实数 的取值范围；
（2）①设 ，求 的最小值；
②定 义 ： 对 于 函 数 与 定 义 域 上 的 任 意 实 数 ， 若 存 在 常 数 、 ， 使 得 和
都成立，则称直线 为函数 与 的“隔离直线”．设 ，试探究 与
是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
4．（2021 秋•桐乡市期中）设函数 ， ．
（1）若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值；
（2）关于 的不等式 的解集中的整数恰有 3个，求实数 的取值范围；
（3）对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ， ，使得 和
都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线”．设 ， ，试探究 与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
5．（2021 春•文昌校级期末）设函数 ， ．
（1）若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值；
（2）对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ， ，使得 和
都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线”．设 ， ，
试探究 与 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说
明理由．
6．（2021•安阳一模）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性．
（Ⅱ）是否存在实数 ， ，使 对任意 恒成立？若存在，试求出 ， 的值；
若不存在，请说明理由．
7．（2021•江苏模拟）已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）证明： ；
（3）是否存在常数 ， ，使得 对任意的 恒成立？若存在，求出 ， 的值；若不
存在，请说明理由．
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