《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第16讲 公切线与公切点的高级应用（解析版）

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第16 讲 公切线与公切点的高级应用
参考答案与试题解析
一．解答题（共 12 小题）
1．（2021 春•武汉期中）已知函数 ， ．
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 ， 的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间，并求其在区间 ， 上的最大值．
【解答】解：（1）由 公共切点可得： ，
则 ， ， ，
则 ， ， ①
又 （1） ， （1） ， ，即 ，代入①式可得： ．
（2） ， 设
则 ，
令 ，解得： ， ；
， ，
原函数在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增
①若 ，即 时，最大值为 ；
②若 ，即 时，最大值为
③若 时，即 时，最大值为 ．
综上所述：当 ， 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ．
2．（2021•渝中区校级模拟）函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，设 ， 与 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，求实数 的最
大值．
【解答】解：（1） ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 或 ， ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增；
当 时，令 或 ， ，解得 ，
所以 在 上单调递增， ，单调递减， 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ，上单调递增， ，上单调递减， ，上单调递增；
当 时， 在 ，上单调递增， ，上单调递减， ，上单调递增．
（2） ，因为 与 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，设公共点为
， ，
所以 ，则 ，且 ， ，解得 ，
又因为 ，则 ，
令 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 ，上单调递增， ，上单调递减，
所以 ，故实数 的最大值为 ．
3．（2021 秋•和平区校级月考）设函数 ．
（1）若 在区间 ， 上存在极值，求实数 的取值范围；
（2）①设 ，求 的最小值；
②定 义 ： 对 于 函 数 与 定 义 域 上 的 任 意 实 数 ， 若 存 在 常 数 、 ， 使 得 和
都成立，则称直线 为函数 与 的“隔离直线”．设 ，试探究 与
是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） ，则
①当 时， ， 在区间 ， 上递增，不存在极值；
②当时， ， 在 ， 区间上递减，不存在极值；
③当 时， 在区间 上单调递减，在 区间上单调递增，则在 处取得极小值；
所以实数 的取值范围 ；
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