《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第14讲 零点问题之取点技巧（解析版）

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第14 讲 零点问题之取点技巧
一、解答题
1．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二期末（理））已知函数
（1）当 ，求函数 的单调区间；
（2）若 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）.
【分析】
（1）求导函数 ，结合定义域由 得单调递减区间，由 得单调递增区间；
（2）求得 ， ，分 讨论：当 时， 单调递增，由零
点存在性定理可作出判断；当 时，可直接代入判断；当 时， 有最小值
，再分 讨论可得结果.
【详解】
（1）当 时， ，（ ），则 .
由 得 ；由 得 .
所以，函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）依题意得 ， ，
① 当 时， 恒成立， 单调递增，
，取 且 ，则 ，
所以，存在唯一 ，使 ，符合题意；
② 当 时， ， ，
无零点，与题意不符；
③ 当 时，由 得 ，
当 ， ， 单调递减； ， ， 单调递增.所以
.
（i）当 时， ，有唯一零点 ，符合题意.
（ii）当 时，令 ， ，
则 ，所以 在 单调递减，
由 ，所以 ，又 ， ，
所以 无零点，与题意不符.
（iii）当 时，显然 ，
又 ， ，
，使 ；
设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 即 在 单调递增，从而 ，
所以 在 单调递增，又 ，
，
，使得 ，
有 个零点，与题意不符.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】
关键点点睛：第（2）问在讨论 时，关键点是由零点的存在性定理寻找包含零点的区间.
2．（2021·天津·耀华中学高三月考）已知函数 （ 是自然对数的底数， 且
）.
（1）求 的单调区间；
（2）若 是函数 在 上的唯一的极值点，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） ；（3）.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，得到 在 内无变号根或无根；设 ，通过讨论 的范
围，求出函数的最小值，得到关于 的不等式，解出即可；
（3） ， ，令 ，通过讨论 的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，
确定 的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵ ，∴
当 时， 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减；
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