《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第13讲 双变量不等式：主元法（解析版）

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第13 讲 双变量不等式:主元法
参考答案与试题解析
一．解答题（共 9小题）
1．（2021 春•哈密市校级月考）已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间和最小值；
（2）当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
（3）若 ， 求证： （b）．
【解答】解：（1） （1分）
令 得： ，
， ；
令 得： ； （2分）
在 ， 上为增函数；在 ， 上为减函数． （4分）
（2）由（1）知：当 时，有 （b） ， （6分）
，即： ， ． （8分）
（3）将 （a） （b）变形为：
（a） （b） （7分）
即只证： （a）
设函数 （8分）
，
令 ，得： ．
在 ， 上单调递增；在 ， 上单调递减；
的最小值为： ，即总有： ． （12 分）
，即： ， （13 分）
令 ， ，则
（a） （b） ，
（a） （b）成立． （14 分）
2．（2021 秋•广东月考）已知函数 （其中 且 为常数， 为自然对数的底数，
．
（Ⅰ）若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，若 （其中 恒成立，求 的最小值 的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ，
其导数为 ．
由 或 ，
设 ， ，
当 时， ；当 时， ．
即 在区间 上递增，在区间 上递减，
，
又当 时， ，当 时， 且 恒成立．
当 或 时，方程 无根，函数 只有 一个极值点．
当 时，方程 的根也为 ，此时 的因式 恒成立，
故函数 只有 一个极值点．
当 时，方程 有两个根 、 且 ， ，
函数 在区间 单调递减； ， 单调递增； 单调递减； ， 单调递增，此时函数
有 、1、 三个极值点．
综上所述，当 或 时，函数 只有一个极值点．
（Ⅱ）依题意得 ，令 ，则对 ，都有 成立．
， 当 时，函数 在 上单调递增，
注意到 ，
若 ， ，有 成立，这与 恒成立矛盾；
当 时，因为 在 上为减函数，且 ，
函数 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
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