《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第12讲 双变量不等式：剪刀模型（原卷版）

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第12 讲 双变量不等式:剪刀模型
一．解答题（共 14 小题）
1．（2021 春•重庆期末）已知 有两个极值点 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）当 时，证明： ．
2．（2021 秋•和平区校级月考）已知函数 在点 ， 处的切线方程为
．
（1）求 ， ；
（2）设曲线 与 轴负半轴的交点为点 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意
的实数 ，都有 ；
（3）若关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： ．
3． （ 2021• 日 照 一 模 ） 已 知 函 数 在 点 处 的 切 线 方 程 为
．
（1）求 ， ；
（2） 函 数 图 象 与 轴 负 半 轴 的 交 点 为 ， 且 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 函 数
， ，求 的最小值；
（3）关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： ．
4．（2021 春•道里区校级期中）已知函数 ， 是 的极值点．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线为直线 ．求证：曲线 上
的点都不在直线 的上方；
（Ⅲ）若关于 的方程 有两个不等实根 ， ，求证： ．
5．（2021•江西校级二模）已知函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的极值；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，求曲线在点 处的切线方程；
（Ⅲ）若方程 为实数）有两个实数根 ， 且 ，求证： ．
6．（2021•天津）已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意
的实数 ，都有 ；
（Ⅲ）若方程 为实数）有两个实数根 ， ，且 ，求证： ．
7．（2021 秋•湖南月考）已知函数 ，设曲线 在点 ， （e） 处的
切线方程为 ．
（1）求 的解析式；
（2）证明：对定义域内任意 ，都有 ；
（3）当 时，关于 的方程 有两个不等的实数根 ， ，证明： ．
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